Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Formula lui Chasles:

Oricare ar fi punctele M, N si P, avem:

\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}.  

Vectori coliniari:

Doi vectori (multimi de segmente orientate echipolente) sunt coliniari daca au aceeasi

directie.

Vectori echipolenti:

Doi vectori avand aceeasi directie, acelasi sens si acelasi modul se numesc vectori

echipolenti.

Teorema:

Vectorii \vec{a}\: si\:\vec{b} sunt coliniari daca si numai daca exista  λ € R,

astfel incat

\vec{a}={\alpha}{b},

sau exista β € R, astfel incat

\vec{b}={\beta}{\vec{a}},

sau exista p, q € R, nu ambele nule, astfel incat

{p}{\vec{a}}+{q}{\vec{b}}=\vec{0}.

Centrul de greutate al unui triunghi:

• Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC daca si numai daca

{\overrightarrow{GA}}+{\overrightarrow{GB}}+{\overrightarrow{GC}}={\overrightarrow{0}}.

• Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC daca si numai daca orice

punct M din plan verifica relatia

{\overrightarrow{MG}}={\frac{1}{3}}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}).

Descompunerea unui vector (dupa doi vectori necoliniari):

Fiind dati doi vectori necoliniari \vec{u}\:si\:\vec{v},  pentru orice vector

\vec{w} din plan exista numerele α, β € R, unic determinate, astfel incat:

\vec{w}={\alpha}{\vec{u}}+{\beta}{\vec{v}}.

Daca

\vec{u}=\vec{i}\:si\:\vec{v}=\vec{j},\;unde\;\vec{i},\:\vec{j}

sunt versorii axelor de coordonate (vectorii directori si unitari ai acestora), atunci

oricarui punct M(x,y) din planul raportat la sistemul ortogonal de axe Oxy ii corespunde

vectorul sau de pozitie avand expresia analitica

\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j};  

se spune ca numerele x si y reprezinta coordonatele vectorului

\overrightarrow{OM}, in baza (\vec{i},\vec{j}).

Expresia analitica a unui vector: 

{\overrightarrow{AB}}={({x_B}-{x_A})}{\vec{i}}+{({y_B}-{y_A})}{\vec{j}},

unde A(xA,yA) si B(xB,yB).

Definitii si formule:

Fie planul P, in care am ales un reper cartezian xOy si M un punct

oarecare in acest plan. Vectorul \vec{r_M}, care are ca reprezentant segmentul

orientat \overline{OM},  se numeste vectorul de pozitie al punctului M.

Fie \overrightarrow{AB} un vector din plan; atunci:

\overrightarrow{AB}=\vec{r_B}-\vec{r_A}.

Fie punctele distincte A si B si numarul λ € R; spunem ca punctul M, diferit de

B, imparte segmentul orientat \overline{AB} in raportul λ daca:

\overrightarrow{MA}=\lambda{\overrightarrow{MB}}.

Observatii:

• Avem λ € R\{1}, caci daca λ = 1, avem

\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}, deci A = B. 

• Pentru orice M pe dreapta AB, M diferit de B, exista λ € R\{1}, astfel incat

\overrightarrow{MA}=\lambda\overrightarrow{MB},

anume λ = MA/MB sau λ = - MA/MB, dupa cum

\overrightarrow{MA}\:si\:\overrightarrow{MB}  

au acelasi sens sau sensuri opuse; daca M = A, atunci λ = 0.

• Pentru orice λ € R\{1}, pe dreapta AB exista un singur punct M, care imparte

\overline{AB} in raportul λ; daca

\overrightarrow{MA}={\lambda}{\overrightarrow{MB}}, atunci

\overrightarrow{MA}=\frac{\lambda}{1-\lambda}\cdot{\overrightarrow{AB}}.

Coordonatele punctului M care imparte segmentul [AB] in raportul MA/MB = k:

x_M=\frac{x_A+kx_B}{1+k},\;y_M=\frac{y_A+ky_B}{1+k};

in cazul particular k = 1 se obtine

\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2},

unde M este mijlocul segmentului [AB], iar O un punct arbitarar din plan; rezulta de aici:

x_M=\frac{x_A+x_B}{2},\;y_M=\frac{y_A+y_B}{2}.

Coliniaritatea a trei puncte:

Fie punctele A, B, M, unde B este diferit de M si numarul λ € R\{1}.

Daca punctul M imparte segmentul orientat \overline{AB}

in raportul λ, atunci pentru orice punct O din planul de referinta avem:

\overrightarrow{OM}={\frac{1}{1-\lambda}}\cdot{\overrightarrow{OA}}+{\frac{-\lambda}{1-\lambda}}\cdot{\overrightarrow{OB}}.

Teorema:

Punctele A, B si M sunt coliniare daca si numai daca exista α, β € R, α + β = 1,

astfel incat:

\vec{r_M}={\alpha}\cdot{\vec{r_A}}+{\beta}\cdot{\vec{r_B}}.

Produsul scalar a doi vectori:

Definitie:

Se numeste produsul scalar al vectorilor \vec{a}\:si\:\vec{b}

numarul real, notat

{\vec{a}}\cdot{\vec{b}},

definit prin

{\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={|\vec{a}|}\cdot{|\vec{b}|}\cdot{\cos{(\widehat{\vec{a},\vec{b}})}}.

Daca se dau vectorii

{\vec{a}}={x_1}{\vec{i}}+{y_1}{\vec{j}}\;si\;{\vec{b}}={x_2}{\vec{i}}+{y_2}{\vec{j}},

atunci:

{\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}

(produsul scalar a doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor celor doi

vectori).  

Modulul unui vector:

|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2},  

unde x si y sunt coordonatele vectorului

\vec{a},\;adica\;\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}.

Unghiul dintre doi vectori:

{\vec{a}}={x_1}{\vec{i}}+{y_1}{\vec{j}}\:si\:{\vec{b}}={x_2}{\vec{i}}+{y_2}{\vec{j}},

care formeaza un unghi de masura φ, este dat de formula:

{cos}{\varphi}=\frac{{\vec{a}}\cdot{\vec{b}}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}}{{\sqrt{{x_1}^{2}+{y_1}^{2}}}\cdot{\sqrt{{x_2}^{2}+{y_2}^{2}}}}.

Corolar:

Vectorii nenuli

{\vec{a}}={x_1}{\vec{i}}+{y_1}{\vec{j}}\:si\:{\vec{b}}={x_2}{\vec{i}}+{y_2}{\vec{j}}  

sunt ortogonali daca si numai daca

{\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0.