ALGEBRA ELEMENTARA-partea intai

ALGEBRĂ-44

Mon, 05 Apr 2010 20:13:00 +0300

Suport teoretic:Functie polinomiala de gradul intai, aria suprafetei triunghiulare, graficul unei functii, cadranul intai.Enunt:Fie functia: $latex f:{##mathbb{R}}##rightarrow{##mathbb{R}},##;f(x)=(m^2-1)x+m+1,##;unde##;m##in{{##mathbb{R}}##setminus##{-1,+1##}}.$Sa se afle parametrul m, astf...

ALGEBRĂ-43

Tue, 26 Jan 2010 12:56:00 +0200

Suport teoretic:Functie rationala, graficul unei functii, produs cartezian, intersectia a doua multimi, ecuatie de gradul al doilea cu parametru, discriminantul unei ecuatii de gradul al doilea, semnul functiei de gradul al doilea, imaginea unei functii.Enunt:Fie functia $latex f:{##mathbb{R}}##r...

ALGEBRĂ-33

Sat, 09 Jan 2010 20:49:00 +0200

Suport teoretic:Radacinile unei ecuatii transcendente, functia parte fractionară, functia de gradul intai.Enunt:S se determine multimea:$latex ##mathcal{M}=##{x##in{##mathbb{R}}|x^2+x+4##{x##}-2=0##},$unde {x} semnifica partea fractionara a numarului real x.Raspuns:$latex ##mathcal{M}=##{-2,##;#...

ALGEBRĂ-42

Fri, 18 Dec 2009 15:23:00 +0200

Suport teoretic: Functia de gradul al doilea, compunerea functiilor, cardinalul unei multimi.Enunt:Fie functiile:$latex {f,g}:##mathbb{R}$$latex ##rightarrow{##mathbb{R}},$unde$latex f(x)=x^2+2x+2$si$latex g(x)=-x^2+2x-1.$Sa se determine:$latex Card##{x##in{##mathbb{R}}|({f}##circ{g})(x)=({g}##ci...

ALGEBRĂ-41

Fri, 18 Dec 2009 15:20:00 +0200

Suport teoretic: Valoarea maxima a unei functii, calculata pe cale elementara.Enunt:Sa se calculeze valoarea maxima a functiei $latex f:[-1;1]##rightarrow{##mathbb{R}},##;f(x)=x+##sqrt{1-x^2},$utilizand calcule elementare.Raspuns:$latex maxf(x)=##sqrt{2}.$

ALGEBRĂ-40

Fri, 18 Dec 2009 15:15:00 +0200

Suport teoretic: Domeniul maxim de definitie al unei functii, cardinalul unei multimi, imaginea unei functii.Enunt:Fie functia:$latex f:{D}##rightarrow{##mathbb{R}},##;f(x)=##sqrt{30-x+2{x^3}-{x^4}},$$latex unde##;{D}##subset{##mathbb{Z}}$reprezinta domeniul maxim de definitie al functiei f.Sa se...

ALGEBRĂ-39

Sun, 13 Dec 2009 19:58:00 +0200

Suport teoretic:Ecuatia atasata functiei de gradul al doilea, pozitiile radacinilor reale pe axa numerelor, rezolvarea unui sistem de inecuatii.Enunt:Fie a si b radacinile reale ale ecuatiei atasate functiei:$latex f:{##mathbb{R}}##rightarrow{##mathbb{R}},##;f(x)=(m+1)x^2+2mx-1,##;{m}##in{##mathb...

ALGEBRĂ-38

Wed, 02 Dec 2009 16:00:00 +0200

Suport teoretic:Ecuatia generala a dreptei, distanta dintre doua puncte.Enunt:Se dau punctele A(3a,2b), B(a,4b) si dreapta (d) de ecuatie 14bx-11ay=0.Sa se afle parametrii pozitivi a si b, astfel incat AB=10 si OM=13, unde M este intersectia dreptelor (d) si AB.Raspuns:a=3, b=4

ALGEBRĂ-3

Sun, 22 Nov 2009 15:46:00 +0200

Suport teoretic: Extremumul functiei de gradul al doilea, discriminantul ecuatiei de gradul al doilea.Enunt:Sa se determine extremumul functiei de gradul al 2-lea, care indeplineste simultan urmatoarele conditii: a) f(x+1)- f(x-1)= 8x+6, pentru orice x real; b) f(0)=1.Raspuns: $latex {min(f)...

ALGEBRĂ-5

Sun, 22 Nov 2009 15:44:00 +0200

Suport teoretic: Descompunerea in factori a unui polinom. Enunt:Sa se arate ca:$latex x^4+3{x^2}-2x+3>0,##forall{x}##in{##mathbb{R}}.$

ALGEBRĂ-8

Sun, 22 Nov 2009 15:42:00 +0200

Suport teoretic: Partea intreaga a unui numar real.Enunt: Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia $latex {[x^2-x+1]}-{[-x^2+x+1]}-1=0,$ unde [a] semnifica partea intreaga a numarului real a.Raspuns: $latex {x}##in(##frac{1-##sqrt{5}}{2},0)##cup(1,##frac{1+##sqrt{5}}{2}).$

ALGEBRĂ-12

Sun, 22 Nov 2009 15:40:00 +0200

Suport teoretic: Functia modul, imaginea unui interval printr-o functie, lungimea unui interval.Enunt:Fie functia $latex f:{##mathbb{R}}##rightarrow{##mathbb{R}},f(x)=||2x-1|+x-1|.$ Sa se calculeze lungimea intervalului $latex f([##frac{1}{4},4]).$ Raspuns:Lungimea intervalului este egala c...

ALGEBRĂ-26

Sun, 22 Nov 2009 15:35:00 +0200

Suport teoretic: Definitia radicalului dintr-un numar real.Enunt:Sa se precizeze elementele multimii $latex ##mathcal{M}=##begin{Bmatrix}x##in{{##mathbb{N}}}^{*}|##sqrt{2x^{2}-1}+ ##sqrt{2x^{2}+1}+##sqrt{4x^{2}+1} = y##in ##mathbb{Q}##end{Bmatrix}.$Raspuns: $latex ##mathc...

ALGEBRĂ-27

Sun, 22 Nov 2009 15:34:00 +0200

Suport teoretic: Progresia aritmetica, formula termenului de ordinul n, rezolvarea unui sistem.Enunt: Sa se determine numerele reale $latex {a_1},{a_2},##cdots{a_{2n+1}},$aflate in progresie aritmetica, stiind ca termenul din mijloc este 15, ultimul termen este 33 si suma termenilo...

ALGEBRĂ-29

Sun, 22 Nov 2009 15:32:00 +0200

Suport teoretic: Intersectia a doua multimi, discriminantul ecuatiei de gradul al doilea.Enunt:Sa se afle intersectia multimilor $latex ##mathcal{A}=##begin{Bmatrix}m##in{##mathbb{R}}|{{({m^2}+1)}^{2}}{x^2}-2m{({m^2}+1)}x+{m^2}-1>0,##forall{x}##in{##mathbb{R}},##end{Bmatrix}##;si##;$ $latex ##...

ALGEBRĂ-32

Sun, 22 Nov 2009 15:28:00 +0200

Suport teoretic: Cardinalul unei multimi, analiza cazurilor posibile. Enunt:Sa se determine cardinalul multimii $latex ##mathcal{M}=##begin{Bmatrix}{x}##in{##mathbb{Z}}|##sqrt{{x}^{2} - 24}##in{##mathbb{N}}##end{Bmatrix}.$Raspuns: $latex ##mathcal{M}=##begin{Bmatrix}- 7,-5,5,...

ALGEBRĂ-35

Sat, 21 Nov 2009 18:06:00 +0200

Suport teoretic: Inductie matematica, demonstratia unei implicatii.Enunt:Sa se calculeze suma $latex ##sum_{k=2}^{k=n}{(k-1)k(k+1)}$ si apoi sa se verifice rezultatul gasit cu ajutorul inductiei matematice.Raspuns:$latex S_n=##frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}.$

ALGEBRĂ-36

Sat, 21 Nov 2009 18:06:00 +0200

Suport teoretic: Factor comun, sume de puteri.Enunt:Sa se calculeze suma $latex {S_n} = 5 + 55 + 555 +##cdots+##begin{matrix} ##underbrace{555##cdots5 }####n##end{matrix}$ si apoi sa se verifice rezultatul gasit folosind metoda inductiei matematice.Raspuns:$latex S_n=##frac{50(10^n-1)-45n}{81}.$

ALGEBRĂ-34

Sat, 21 Nov 2009 18:05:00 +0200

Suport teoretic: Graficul unei functii, functie nenegativa.Enunt:Fie functia $latex f:{##mathbb{R}}##rightarrow{##mathbb{R}},f(x)=-x^2+6x-7.$ Sa se determine multimea $latex {G_f}##cap{({##mathbb{N}}##times{##mathbb{N}})},unde##;{G_f}=##begin{Bmatrix}(x,y)|y=f(x),x##in{##mathbb{R}}##end{Bmatrix}....

ALGEBRĂ-31

Sat, 21 Nov 2009 18:04:00 +0200

Suport teoretic: Ecuatie funcţionala, rezolvarea unui sistem.Enunt:Fie functia $latex f:(0,##infty)##rightarrow{##mathbb{R}},$ avand proprietatea $latex 2f(x)-3f(##frac{1}{x})=##frac{4{x^2}+x-6}{x},##forall{x}>0.$ Sa se afle f([1;2]). Raspuns: f([1;2])=[1;3].

ALGEBRĂ-30

Sat, 21 Nov 2009 18:02:00 +0200

Suport teoretic: Inecuatie de gradul al doilea cu doua necunoscute.Enunt:Sa se determine parametrul real m, astfel incat $latex x^2+y^2-8x+y-m##geq{0},##forall{x,y}##in{##mathbb{R}}.$Raspuns: $latex {m}##in(-##infty,-##frac{65}{4}].$

ALGEBRĂ-28

Sat, 21 Nov 2009 18:01:00 +0200

Suport teoretic: Radacinile reale ale unei ecuatii, partea intreaga si partea fractionara a unui numar real.Enunt:Sa se afle parametrul real m, astfel incat radacinile reale $latex ##alpha##,si##,##beta$ ale ecuatiei $latex {x^2-(m+3)x+m^2=0}$ sa verifice simultan conditiile: $latex {[##alph...

ALGEBRĂ-24

Sat, 21 Nov 2009 17:59:00 +0200

Suport teoretic: Imaginea unei functii, intersectia a doua multimi.Enunt:Fie functiile $latex f,g:{##mathbb{R}}##rightarrow{##mathbb{R}},##;f(x)=m^2x^2+2mx-3,##;g(x)=-m^2x^2+2mx+8,$ $latex m##in{(0,##infty)}.$ Sa se determine: $latex {Imf}##cap{Img}.$Raspuns: $latex {Imf}##cap{Img...

ALGEBRĂ-25

Sat, 21 Nov 2009 17:59:00 +0200

Suport teoretic: Definitia functiei parte intreaga, rezolvarea unui sistem de inecuatii.Enunt:Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia: $latex {[- {x^2} + 5x - 1]} - {[{x^2} - 5x + 8]} = 1,$unde [a] inseamna partea intreaga a numarului real a. Raspuns:$latex {x}##in##begin{Bmatrix}##frac...

ALGEBRĂ-23

Sat, 21 Nov 2009 17:58:00 +0200

Suport teoretic: Definitia si proprietatile progresiei aritmetice.Enunt:Sa se rezolve in multimea numerelor naturale ecuatia:$latex 3 + 10 + 17 + ... +(x^2+ x + 4) = 1390.$ Raspuns: x=11.

ALGEBRĂ-22

Sat, 21 Nov 2009 17:57:00 +0200

Suport teoretic: Definitia si proprietatile progresiei geometrice.Enunt:Sa se afle ratia unei progresii geometrice, stiind ca suma primilor sai termeni este data de formula $latex {S}_{n}={{3}^{n+1}}-{{3}^{n}}-2.$ Raspuns: q=3.

ALGEBRĂ-21

Sat, 21 Nov 2009 17:57:00 +0200

Suport teoretic: Partea intreaga si partea fractionara a unui numar real.Enunt:Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia $latex 3x+2##begin{Bmatrix}x##end{Bmatrix}-1=0,##;{unde}##;##begin{Bmatrix}x##end{Bmatrix}$ reprezinta partea fractionară a numarului real x.Raspuns: $latex {x}##...

ALGEBRĂ-20

Sat, 21 Nov 2009 17:56:00 +0200

Suport teoretic: Inecuatie irationala, conditii de existenta.Enunt:Sa se rezolve in multimea numerelor reale inecuatia:$latex {##sqrt{x^4-6x^3+15x^2-18x+9}}>{2x-x^2}.$Raspuns:$latex x##in{(-##infty,1)}##cup{(##frac{3}{2},2)}.$

ALGEBRĂ-19

Sat, 21 Nov 2009 17:51:00 +0200

Suport teoretic: Ecuatie algebrica de gradul al 2-lea cu coeficienti intregi, numere rationale.Enunt:Sa se determine numerele intregi k, astfel incat radacinile ecuatiei$latex 4x^2-4(2k+1)x+4k^2-3=0$sa fie numere rationale.Raspuns:$latex k=l^2-1,##;l##in{##mathbb{N}}.$

ALGEBRĂ-18

Sat, 21 Nov 2009 17:50:00 +0200

Suport teoretic: Inecuatii cu modul, proprietatile modulului.Enunt:Sa se rezolve in multimea numerelor reale:$latex {|{x^2}-4x|+|x+2|}##le{{x^2}+5|x|+2}.$Raspuns:$latex x##in{##mathbb{R}}.$

ALGEBRĂ-16

Sat, 21 Nov 2009 17:49:00 +0200

Suport teoretic: Definitia radicalului dintr-un numar real.Enunt: Fie functia $latex f:{##mathcal{D}}##rightarrow{##mathbb{R}},$ $latex f(x)=##frac{##sqrt{{x^2}-1}}{##sqrt{1+x}+##sqrt{1-x}}.$ Sa se determine Imf, stiind ca$latex {##mathcal{D}}##subset{##mathbb{R}}$ reprezinta domen...

ALGEBRĂ-17

Sat, 21 Nov 2009 17:49:00 +0200

Suport teoretic: Proprietatile functiei de gradul al doilea.Enunt:Sa se afle Card(M), unde $latex M=##{(x,y)##in{##mathbb{N^*}}##times{##mathbb{N^*}}|{x^2-3x+2}<{y}<{-x^2+2x+3}##}.$ Raspuns: Card(M)=5.

ALGEBRĂ-14

Sat, 21 Nov 2009 17:48:00 +0200

Suport teoretic: Semnul functiei de gradul al doilea.Enunt:Sa se arate ca$latex { x^2-x+1}>{0},##;##forall{x}##in{##mathbb{R}}.$

ALGEBRĂ-15

Sat, 21 Nov 2009 17:48:00 +0200

Suport teoretic: Progresia aritmetica. Enunt:Sa se arate ca numarul $latex {A}=##frac{3+6+9+...+2010}{{2}^{10}-19}$este natural. Raspuns:$latex {A}={671}##in{##mathbb{N}}.$

ALGEBRĂ-13

Sat, 21 Nov 2009 17:47:00 +0200

Suport teoretic: Radacinile unei ecuatii de gradul al doilea, rezolvarea unei ecuatii cu modul.Enunt:Sa se determine parametrul real m, astfel incat intre radacinile$latex {x}_{1}##;{si}##;{x}_{2},##;ale##;ecuatiei$ $latex {x^2-2(m+1)x+4m=0}$sa existe relatia$latex |{x}_{1}-{x}_{2}|=1,$unde |a| s...

ALGEBRĂ-10

Sat, 21 Nov 2009 17:46:00 +0200

Suport teoretic: Multime definita analitic, multime definita sintetic, ecuatie cu solutii reale.Enunt:Sa se determine multimea: $latex ##mathcal{M}=##begin{Bmatrix}x##in{##mathbb{R}}|x=##frac{2a^2-a+1}{a^2+1},a##in{##mathbb{R}}##end{Bmatrix}.$Raspuns: $latex ##mathcal{M}=[##frac{3-##sqrt{2}}...

ALGEBRĂ-11

Sat, 21 Nov 2009 17:46:00 +0200

Suport teoretic: Inductia matematica.Enunt:Sa se demonstreze ca:$latex {3^n}>n##cdot{2^{n-1}},##forall{n}##in{##mathbb{N}}.$

ALGEBRĂ-9

Sat, 21 Nov 2009 17:45:00 +0200

Suport teoretic: Functie polinomiala de gradul intai, functie strict descrescatoare.Enunt:Fie functia: $latex f:{##mathbb{R}}##rightarrow{##mathbb{R}},f(x)=({m^2}-1)x+m+1,##;unde##;m##in{##mathbb{R}}##setminus##{-1,+1##}.$ $latex Sa##;se##;afle##;m##in{##mathbb{Z}},##;astfel##;{incat}##...

ALGEBRĂ-7

Sat, 21 Nov 2009 17:44:00 +0200

Suport teoretic: Monotonia functiei de gradul al doilea, semnul coeficientului dominant, semnul dicriminantului, ecuatie atasata.Enunt:Pentru care valori ale parametrului real m, avem: $latex (m + 2)x^2 + 2(m - 1)x + m + 1 ##geq{0},##forall{x}##in[1;##infty)?$Raspuns: $latex {m}##in{[- ##fra...

ALGEBRĂ-6

Sat, 21 Nov 2009 17:43:00 +0200

Suport teoretic: Ecuatie irationala, conditii de existenta.Enunt:Sa se rezolve in multimea numerelor intregi ecuatia:$latex ##sqrt[3]{x^3 + 2x^2 + 1}+##sqrt{4 - 3x - x^2}=0.$ Raspuns: x=-3.

ALGEBRĂ-4

Sat, 21 Nov 2009 17:42:00 +0200

Suport teoretic:Partea intreaga a unui numar real.Enunt:Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia:$latex [##frac{5x-3}{2}]=##frac{x+2}{3},$ unde [a] reprezinta partea intreaga a numarului real a. Raspuns: x=1.

ALGEBRĂ-2

Sat, 21 Nov 2009 17:41:00 +0200

Suport teoretic: Cardinalul unei multimi, ecuatie algebrica de gradul al doilea, cu coeficienti reali. Enunt:Sa se afle parametrul real m, astfel incat multimea $latex {A}##cap{B}$ sa contina un singur element, stiind ca$latex A=##begin{Bmatrix}{x}##in{##mathbb{R}}|{{(m^2+1)}{x^2} - {m^...

ALGEBRĂ-1

Sat, 21 Nov 2009 17:40:00 +0200

Suport teoretic: Ecuatie cu doua necunoscute.Enunt:Sa se rezolve in multimea numerelor intregi ecuatia:4x-6xy-3y-3=0. Raspuns:$latex S=##begin{Bmatrix}(0, -1),(-3, 1)##end{Bmatrix}.$

ALGEBRĂ-37

Sun, 04 Oct 2009 16:04:00 +0300

Suport teoretic: Partea intreaga a unui numar real, sistem de inecuatii de gradul al doilea.Enunt:Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia:$latex {[-x^2+5x-1] - [x^2-5x+8]}=1,$unde [a] semnifica partea intreaga a numarului real a.Raspuns: $latex {x}##i...