ALGEBRA ELEMENTARA-partea a doua

ALGEBRA-28

Tue, 20 Apr 2010 21:19:00 +0300

Suport teoretic:Sistem de inecuatii, aranjamente, extremul unei functii de gradul al doilea.Enunt:Sa se afle perechile de numere naturale (n;k), astfel incat:$latex {3+2x-x^2}<{A_n^k}<{8-2x+x^2},##forall{x}##in{##mathbb{R}}.$Raspuns:S={(5;1),(6;1),(3;2),(3;3)}.

ALGEBRA-27

Wed, 14 Apr 2010 21:16:00 +0300

Suport teoretic:Functie definita pe multimea numerelor naturale nenule, permutari de n elemente, preimaginea unui element printr-o functie, rezolvarea unei ecuatii in numere intregi, divizibilitatea in numere intregi.Enunt:Sa se afle multimea M a preimaginilor numarului 0 prin functia:$latex f:{#...

ALGEBRA-26

Mon, 12 Apr 2010 20:50:00 +0300

Suport teoretic:Combinari, progresie geometrica, logaritm natural, inecuatie de gradul al doilea.Enunt:Stiind ca numerele $latex C_{n-1}^{1},C_n^2,C_{n+1}^{3}$ sunt in progresie geometrica, sa se rezolve inecuatia:$latex {ln}C_x^n<2.$Raspuns:$latex n=2,##;x##in{##{2,3,4##}}.$

ALGEBRA-25

Sat, 10 Apr 2010 18:43:00 +0300

Suport teoretic:Ecuatie cu factoriale, divizibilitate in multimea numerelor naturale.Enunt:Sa se rezolve ecuatia:x! + 1 = (x + 6)².Raspuns:S={5}.

ALGEBRA-24

Thu, 08 Apr 2010 10:46:00 +0300

Suport teoretic:Combinari, formula combinarilor complementare, partea intreaga a unui numar real, suma primelor n numare naturale, sistem de inecuatii de gradul al doilea.Enunt:Sa se rezolve ecuatia:$latex C_{[x^2+x+1]}^{[x^2+x-1]}=##sum_{k=1}^{2010}{k}.$Raspuns:$latex x##in{(##frac{-1-##sqrt{804...

ALGEBRA-23

Wed, 31 Mar 2010 21:37:00 +0300

Suport teoretic:Elemente de combinatorica, permutari.Enunt:Sa se rezolve ecuatia: $latex (147-n^3)##cdot{P_n}=P_{n+3}.$Raspuns: n=3.

ALGEBRA-22

Fri, 18 Dec 2009 15:32:00 +0200

Suport teoretic: Functie de gradul intai, functie logaritm natural, inecuatie de gradul intai cu parametru real.Enunt:Fie functia:$latex f:{##mathbb{R}}##rightarrow{##mathbb{R}},##;f(x)=x{##ln(1+m)}-{##ln(2-m)}.$Sa se afle parametrul real m, astfel incat:$latex {f(x)}##ge{0},##;##forall{x}##in{[2...

ALGEBRA-21

Fri, 18 Dec 2009 15:30:00 +0200

Suport teoretic: Functie multiforma depinzand de doi parametri reali, monotonia functiei de gradul intai.Enunt:Se dă functia:$latex f:{##mathbb{R}}##rightarrow{##mathbb{R}},$ $latex f(x)=##begin{cases}ax+a^2-5a,##;x##in{(-##infty,0]}####bx-4,##;x##in{(0,+##infty)}##end{cases}.$Sa se afle pa...

ALGEBRA-20

Fri, 18 Dec 2009 15:27:00 +0200

Suport teoretic: Functia exponentiala, graficul unei functii, cardinalul unei multimi.Enunt:Se dau functiile$latex f,g:{[0,+##infty)}##rightarrow{##mathbb{R}},##;f(x)=3^{4##sqrt{x}}##;si##;g(x)=15-{2}##cdot{3^{2##sqrt{x}}}.$Fie multimea$latex M=##{(x,y)##in{{##mathbb{R}}##times{##mathbb{R}}}|(x,y...

ALGEBRA-11

Sun, 22 Nov 2009 15:22:00 +0200

Suport teoretic: Binomul lui Newton, termenul general al binomului Newton.Enunt:Sa se determine coeficientul lui $latex x^{15}$ din dezvoltarea:$latex (1+x-x^2)^{10}.$Raspuns: $latex 10{C}_{9}^{3}-{C}_{10}^{5}-8{C}_{10}^{2}.$

ALGEBRA-19

Sat, 21 Nov 2009 21:47:00 +0200

Suport teoretic:Proprietatile modulului, proprietatile functiilor sinus si cosinus, inegalitatea Cauchy-Schwarz, inecuatia de gradul al doilea.Enunt:Se dă functia: $latex f:{##mathbb{R}}##rightarrow{##mathbb{R}},##;f(x)=m{{{sin}^{2010}}x}##cdot{{{cos}^{2009}}x}+(m-1){{{sin}^{2009}}x}##cdot{{{cos...

ALGEBRA-18

Sat, 21 Nov 2009 18:19:00 +0200

Suport teoretic: Definitia si proprietatile functiei logaritm.Enunt:Se dau numerele $latex {m}=##log_{3{x}^{2}}{(##frac{1}{##sqrt{x}})}##; si##; {n}=##log_{3x}{81}.$ a) Sa se precizeze multimea $latex {##mathcal{D}}=##begin{Bmatrix}{x}##in{##mathbb{R}}|m,n##in{##mathbb{R}}##end{Bmatrix}.$ b)...

ALGEBRA-15

Sat, 21 Nov 2009 18:18:00 +0200

Suport teoretic: Conditii de existenta pentru radicali si logaritmi.Enunt: Sa se afle multimea $latex ##mathcal{S}$ a tuturor punctelor M(x;y) din plan, unde numerele reale x si y verifica egalitatea: $latex ##sqrt[##bf##frac{x-1}{3-x}]{##log_##frac{3-x}{x-1}{|{##sin}^{3}{(##frac{3...

ALGEBRA-16

Sat, 21 Nov 2009 18:18:00 +0200

Suport teoretic: Functie bine definita, analiza cazurilor posibile, monotonia unei functii.Enunt:Pentru ce valori ale parametrului real m, functia$latex f:[0,+##infty)##rightarrow{##mathbb{R}},$ data prin legea $latex f(x)=##sqrt[4]{(1+m^2)4^x+2(m-1)2^x+1},$ este bine definita?Rasp...

ALGEBRA-17

Sat, 21 Nov 2009 18:18:00 +0200

Suport teoretic: Sistem simetric, ecuatii exponentiale, relatiile lui Viete.Enunt:Sa se rezolve in multimea numerelor reale sistemul:$latex ##begin{cases}{2^x+2^y+2^z=##frac{13}{2}}####{2^{x+y}+2^{y+z}+2^{z+x}=11}####{2^{x+y+z}=4}##end{cases}.$Raspuns: $latex (x,y,z)##in{##begin{Bmatrix...

ALGEBRA-14

Sat, 21 Nov 2009 18:16:00 +0200

Suport teoretic: Functiile logaritm, radical, sinus, cosinus, compunerea functiilor, conditii de existenta.Enunt:Sa se afle domeniul maxim de definitie al functiei:$latex f:{##mathcal{D}}##rightarrow{##mathcal{R}},##;f(x)={lg(2sinx-1)}+##sqrt{2cosx-1}.$Raspuns: $latex ##mathcal{D}=##bigcup_{...

ALGEBRA-13

Sat, 21 Nov 2009 18:15:00 +0200

Suport teoretic: Functie cu acoladă, functie bijectiva, inversa unei functii bijective.Enunt:Fie functia $latex f:{##mathbb{R}}##rightarrow{##mathbb{R}},$ $latex f(x)=##begin{cases}2x-1,x##in{(-##infty,1]}####(m+2)x+m,x##in{(1,+##infty)}##end{cases}.$ Sa se afle parametrul real m, astfel incat&n...

ALGEBRA-12

Sat, 21 Nov 2009 18:14:00 +0200

Suport teoretic: Preimaginile unui numar real printr-o functie, ecuatia de gradul al doilea.Enunt:Sa se gaseasca preimaginile numarului 8 în cazul functiei $latex f:{##mathbb{R}}##rightarrow{##mathbb{R}},f(x)={4}^{##sqrt{{x}^{2}+3}}-{2}^{1+##sqrt{{x}^{2}+3}}.$Raspuns: $latex {x}##in##b...

ALGEBRA-10

Sat, 21 Nov 2009 18:13:00 +0200

Suport teoretic: Termenul general al unui binom Newton.Enunt:Sa se afle termenul constant al dezvoltarii binomului: $latex {(##sqrt[3]{x^2}+##frac{1}{x##sqrt[4]{x}})}^{23}.$ Raspuns:$latex C_{23}^8.$

ALGEBRA-8

Sat, 21 Nov 2009 18:12:00 +0200

Suport teoretic: Cardinalul unei multimi, minimul sau maximul unei expresii, ecuatie transcendenta.Enunt:Sa se determine cardinalul multimii: $latex M=##begin{Bmatrix}{x##in##mathbb{R}|{sinx}+{cosx}=2x^2-{##pi}x+##sqrt{2}+##frac{{##pi}^2}{8}}##end{Bmatrix}.$Raspuns: $latex x=##frac{##pi}{4},...

ALGEBRA-9

Sat, 21 Nov 2009 18:12:00 +0200

Suport teoretic: Sistem format din ecuatii transcendente, functie exponentiala, functie de gradul intai, functie de gradul al doilea.Enunt: Sa se rezolve în multimea numerelor reale sistemul:$latex ##begin{cases}3^{3x+1}=2y####9^{3x}=y^2-{##frac{5}{18}}y##end{cases}.$Raspuns: ...

ALGEBRA-6

Sat, 21 Nov 2009 18:11:00 +0200

Suport teoretic: Conditiile de bijectivitate ale unei functii, ecuatia de gradul al doilea. Enunt:Se da functia $latex f:{##mathbb{R}}##rightarrow{##mathbb{R}},$ $latex f(x)=##begin{cases}-{x}^{2}+2m(m+1)x+m,##;x##leq{2}####-m{x}^{2}+(m+1)x-4,x>2##end{cases}.$ Sa se determine parametrul real m...

ALGEBRA-7

Sat, 21 Nov 2009 18:11:00 +0200

Suport teoretic: Valorile reale ale unui parametru, baza unui logaritm.Enunt:Sa se determine valorile parametrului real $latex ##lambda$ pentru care functia$latex f:{##mathbb{R}}##rightarrow{##mathbb{R}},f(x)=##log_{{##frac{1}{{##lambda}^{2}+1}}}{(x^2-2x+3)}$ are proprietatea $latex f(##math...

ALGEBRA-5

Sat, 21 Nov 2009 18:10:00 +0200

Suport teoretic: Aranjamente de n elemente luate cate k, divizibilitate in multimea numerelor naturale.Enunt:Sa se calculeze numarul natural n, astfel incat: $latex A_{2n}^{3}##vdots$ $latex A_{n}^{3}.$Raspuns: $latex {n}##in##begin{Bmatrix}3, 4, 5, 6, 8, 14##end{Bmatrix}.$

ALGEBRA-3

Sat, 21 Nov 2009 18:09:00 +0200

Suport teoretic: Functia logaritmica, proprietatile logaritmilor, formula de schimbare a bazei unui logaritm, rezolvarea ecuatiilor logaritmice.Enunt:Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia: $latex ##log_{2}|x^2-1|-##log_{4}{(x^2+1)}=1.$Raspuns: $latex x=##pm##sqrt{3 + 2##sqr...

ALGEBRA-4

Sat, 21 Nov 2009 18:09:00 +0200

Suport teoretic: Functie bine definita si inversabila.Enunt:Sa se afle parametrul real m, astfel incat functia $latex f:{##mathbb{R}}##rightarrow{(0;##infty)},$ $latex f(x)={(##frac{3{m}^{2}-{m}^{3}-2m}{{m}^{2}+5}})^{x},$ s fie bine definita si inversabila. Raspuns:$latex {m}##in{(-##infty;-1)}##...

ALGEBRA-1

Sat, 21 Nov 2009 18:08:00 +0200

Suport teoretic: Functie bine definita, regula semnului functiei de gradul al doilea, functia logaritm.Enunt:Sa se afle parametrul real m, astfel incat functia $latex f(x)=##sqrt{##log_{2}{[mx^2-2(m-1)x+2]}}$sa fie bine definita.Raspuns: $latex {m}##in{[##frac{3-##sqrt{5}}{2},##frac{3+#...

ALGEBRA-2

Sat, 21 Nov 2009 18:08:00 +0200

Suport teoretic: Functie bijectiva, functie inversabila.Enunt:Se da functia$latex f:[1;2)##rightarrow{##mathbb{R}},f(x)=##frac{1}{##sqrt{x+2##sqrt{x-1}}}+##frac{1}{##sqrt{x-2##sqrt{x-1}}}.$ Sa se demonstreze ca functia $latex g: [1;2)##rightarrow{Imf},g(x)=f(x),##forall{x}##in{[1;2)}$ este biject...