Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Cazuri de congruenta pentru triunghiuri oarecare: 

Pentru ca doua triunghiuri oarecare, ABC si A'B'C', sa fie congruente, este suficient sa

aiba:

I)   (AB) Ξ (A'B'), (A'C') Ξ (A'C') si mas(A) = mas(A'); (LUL) 

II)  (AB) Ξ (A'B'), mas(A) = mas(A') si mas(C) = mas(C'); (LUU)

III) (AB) Ξ (A'B'), mas(A) = mas(A') si mas(B) = mas(B'); (ULU)

IV) (AB) Ξ (A'B'), (BC) Ξ (B'C') si (CA) Ξ (C'A'); (LLL)

Cazuri de congruenta pentru triunghiuri dreptunghice: 

Pentru ca doua triunghiuri dreptunghice, ABC si A'B'C' (unde A si A' sunt unghiurile

drepte), sa fie congruente, este suficient sa aiba:

I)  (AB) Ξ (A'B') si (AC) Ξ (A'C'); (CC)

II) (AB) Ξ (A'B') si mas(B) = mas(B'); (CU)

II') (AB) Ξ (A'B') si mas(C) = mas(C'); (CU)

III) (BC) Ξ (B'C') si mas(B) = mas(B'); (IU)

III') (BC) Ξ (B'C') si mas(C) = mas(C'); (IU)

IV) (AB) Ξ (A'B') si (BC) Ξ (B'C'); (CI)

IV') (AC) Ξ (A'C') si (BC) Ξ (B'C'); (CI)

Teorema lui Thales:

Direct:

Fie triunghiul ABC si D intre A si B, E intre A si C; daca DE || BC, atunci

DA/DB = EA/EC.

Reciproc:

Fie triunghiul ABC si D intre A si B, E intre A si C, astfel incat

DA/DB = EA/EC, sau AD/AB = AE/AC, sau AB/DB = AC/EC,

atunci DE || BC.

Teorema fundamentala a asemanarii:

Daca in triunghiul ABC avem DE || BC, D pe AB si diferit de A , E pe AC, atunci

triunghiul ADE este asemenea cu triunghiul ABC.

Cazuri de asemanare pentru triunghiuri oarecare:

Pentru ca doua triunghiuri oarecare sa fie asemenea, este suficient sa aiba:

I) m(A) = m(A') si m(B) = m(B'); (UU)

II) m(A) = m(A') si AB/A'B' = AC/A'C'; (LUL)

III) AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'; (LLL)

Teorema lui Menelaus:

Direct:

Fie triunghiul ABC si A', B', C' trei puncte coliniare si distincte, astfel incat A' pe BC,

B' pe CA, C' pe AB, atunci:

\frac{A'B}{A'C}\cdot\frac{B'C}{B'A}\cdot\frac{C'A}{C'B}=1.

Reciproc:

Fie triunghiul ABC si punctele distincte A', B', C', situate pe dreptele BC, AC, respectiv

AB. Daca doua dintre puncte sunt situate pe laturile triunghiului si unul situat pe

prelungirea laturii a treia, sau niciunul nu este situat pe laturile triunghiului, ci pe

prelungirile acestora si

\frac{A'B}{A'C}\cdot\frac{B'C}{B'A}\cdot\frac{C'A}{C'B}=1,

atunci punctele A', B' si C' sunt coliniare.

Teorema lui Ceva:

Direct:

Fie triunghiul ABC si punctul M situat in interiorul triunghiului ABC.

Daca A', B' si C' sunt intersectiile semidreptelor (AM, (BM si (CM cu BC, AC, respectiv

AB, atunci:

{\frac{A'B}{A'C}}\cdot{\frac{B'C}{B'A}}\cdot{\frac{C'A}{C'B}}=1.

Reciproc:

Fie triunghiul ABC si punctele A' pe(BC), B' pe (CA), C' pe (AB). Daca

{\frac{A'B}{A'C}}\cdot{\frac{B'C}{B'A}}\cdot{\frac{C'A}{C'B}}=1,

atunci dreptele AA', BB' si CC' sunt concurente.

Teorema bisectoarei:

In orice triunghi ABC:

1) Bisectoarea unui unghi interior imparte latura opusa in segmente proportionale cu

laturile care formeaza unghiul respectiv: A'B/A'C = AB/AC,

unde A' este punctul de intersectie al bisectoarei unghiului interior A cu latura BC.

2) Bisectoarea unui unghi exterior determina pe dreapta suport a laturii opuse

segmente proportionale cu laturile care formeaza unghiul respectiv: A"B/A"C = AB/AC,  

unde A" este punctul de intersectie al bisectoarei unghiului exterior din A cu dreapta

suport a laturii BC.

Teorema lui Pitagora:

In orice triunghi dreptunghic, patratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma patratelor

lungimilor catetelor: BC² = AB² + AC².

Teorema catetei:

In orice triunghi dreptunghic, lungimea fiecarei catete este medie proportionala

(geometrica) intre lungimea ipotenuzei si lungimea proiectiei acestei catete pe

ipotenuza:

AB² = BC·BD, AC² = BC·CD,

unde AD este inaltimea coborata din varful unghiului drept A.

Teorema inaltimii:

In orice triunghi dreptunghic, lungimea inaltimii coborata din varful unghiului drept

este medie proportionala (geometrica) intre lungimile proiectiilor catetelor pe 

ipotenuza:

AD² = BD·DC.

Teorema cosinusului (teorema lui Pitagora generalizata):

In orice triunghi ABC, unde BC = a, AB = c si AC = b, au loc relatiile:

• a² = b² + c² - 2bccosA,
• b² = c² + a² - 2cacosB,
• c² = a² + b² - 2abcosC.

Teorema lui Stewart:

Fiind dat un triunghi ABC si un punct D pe baza, intre B si C, are loc relatia:

AB²·DC + AC²·BD - AD²·BC = BD·DC·BC.

Relatia lui Steiner:

Fie triunghiul ABC si punctele M, N pe (BC). Unghiurile MAB si CAN au aceeasi masura

daca si numai daca:

{\frac{MB}{MC}}\cdot{\frac{NB}{NC}}=\frac{{AB}^2}{{AC}^2}.

Teorema medianei:

{AD}^{2}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4},

unde AD este mediana din A in triunghiul ABC, iar a, b, c sunt lungimile laturilor BC,

AC, respectiv AB (si analoagele).

Teorema sinusurilor:

In orice triunghi ABC, unde BC = a, AB = c si AC = b, avem:

\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R,

unde A, B, C reprezinta masurile unghiurilor triunghiului ABC, iar R reprezinta lungimea

razei cercului circumscris triunghiului.

• \sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}

        si analoagele, obtinute prin permutari circulare.

• \cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}

        si analoagele, obtinute prin permutari circulare.

• {tg}{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}

        si analoagele, obtinute prin permutari circulare.