Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 18 Septembrie, 2009

DREAPTA

a) Ecuatiile dreptei determinata de 2 puncte distincte, sub formă parametrica:

$\begin{cases}x=\frac{x_1+kx_2}{1+k}\\y=\frac{y_1+ky_2}{1+k}\\z=\frac{z_1+kz_2}{1+k}\end{cases},$ \begin{cases}x=\frac{x_1+kx_2}{1+k}\\y=\frac{y_1+ky_2}{1+k}\\z=\frac{z_1+kz_2}{1+k}\end{cases},

unde cele 2 puncte sunt A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), si k numar real diferit de - 1,

reprezintă raportul în care punctul curent M(x,y) împarte segmentul AB:

$\frac{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MB}}=-k.$ \frac{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MB}}=-k.

Observaţie:

Pentru k = 1 se obţin cordonatele mijlocului segmentului determinat de cele 2 puncte.

b) Ecuatiile dreptei ce trece printr-un punct M(a,b,c) si are ca vector director pe vectorul

$\vec{v}=l\vec{i}+m\vec{j}+n\vec{k}:$ \vec{v}=l\vec{i}+m\vec{j}+n\vec{k}: $\frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}.$ \frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}.

Observatii:

Numerele l, m si n se numesc parametrii directori ai vectorului/dreptei respective.
Dacă un numitor este egal cu zero, atunci numărătorul respectiv este şi el nul.

(Exemplu: daca m = 0, atunci y = b, ceea ce înseamnă că dreapta de ecuaţie

$\frac{x-a}{l}=\frac{z-c}{n}$ \frac{x-a}{l}=\frac{z-c}{n}

este situată în planul y = b).

Dacă 2 numitori sunt nuli, atunci dreapta este paralelă cu una din axele de

coordonate.

(Exemplu: dacă l = m = 0, dar n este nenul, atunci dreapta are ca vector director

$\vec{v}=n\vec{k}$ \vec{v}=n\vec{k}

şi, deci, este paralelă cu axa Oz).

Dacă dreapta este determinată de punctele A(x1, y1, z1) si B(x2, y2, z2),

atunci, luând ca vector director vectorul

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1)\vec{i}+(y_2-y_1)\vec{j}+(z_2-z_1)\vec{k}$ \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1)\vec{i}+(y_2-y_1)\vec{j}+(z_2-z_1)\vec{k} ,

ecuaţiile carteziene ale dreptei devin:

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}.$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}.

Notând cu t (numar real) valoarea comună a celor trei rapoarte de mai

sus, deducem o altă reprezentare parametrică a dreptei respective:

$\begin{cases}x=x_1+lt\\y=y_1+mt\\z=z_1+nt\end{cases}.$ \begin{cases}x=x_1+lt\\y=y_1+mt\\z=z_1+nt\end{cases}.

c) Forma canonica a ecuatiei dreptei:

$\begin{cases}x=mz+x_{\circ}\\y=nz+y_{\circ}\end{cases},$ \begin{cases}x=mz+x_{\circ}\\y=nz+y_{\circ}\end{cases},

unde m, n, xo, yo sunt numere reale.

Observatii:

Forma canonica a ecuatiei dreptei se poate rescrie astfel:

$\frac{x-x_{\circ}}{m}=\frac{y-y_{\circ}}{n}=\frac{z-0}{1}.$ \frac{x-x_{\circ}}{m}=\frac{y-y_{\circ}}{n}=\frac{z-0}{1}.

Se poate recunoaste astfel ecuatia unei drepte ce trece prin punctul M(xo, yo, 0)

si are ca vector director

$\vec{v}=m\vec{i}+n\vec{j}+\vec{k},$ \vec{v}=m\vec{i}+n\vec{j}+\vec{k},

(cu precizarea cunoscuta ca in cazul unui numitor nul, numaratorul corespunzator este

si el nul).

Forma canonica se obtine din sistemul

$\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\a$ \begin{cases}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases},

care reprezinta dreapta ca intersectie de doua plane neparalele si distincte, in cazul

cand expresia a · b' - a' · b este nenula (sistem compatibil simplu nedeterminat, a

carui solutie, obtinuta cu regula lui Cramer, exprima pe x si y in functie de z).

d) Unghiul ascutit format de 2 drepte in spatiu:

$\cos{\varphi}=\frac{|l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2|}{{\sqrt{{l_1}^2+{m_1}^2+{n_1}^2}}\cdot{\sqrt{{l_2}^2+{m_2}^2+{n_2}^2}}},$ \cos{\varphi}=\frac{|l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2|}{{\sqrt{{l_1}^2+{m_1}^2+{n_1}^2}}\cdot{\sqrt{{l_2}^2+{m_2}^2+{n_2}^2}}},