Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»PROBABILITATI

Data publicarii: 16 August, 2009

TEORIE

Definitie:

Numim probabilitatea unui eveniment raportul dintre numărul cazurilor favorabile

evenimentului şi numărul cazurilor egal posibile ale experienţei.

Proprietati ale evenimentelor:

a) P(A) € [0;1], unde A este eveniment oarecare;

b) P(E) = 1, unde E este evenimentul sigur;

c)P(Φ) = 0, unde φ este evenimentul imposibil;

d) P(AUB) = P(A) + P(B), daca A si B sunt disjuncte

(A si B sunt evenimente incompatibile);

$e)\;P({A}\cup{B})=P(A)+P(B)-P({A}\cap{B}),$ e)\;P({A}\cup{B})=P(A)+P(B)-P({A}\cap{B}),

daca A si B nu sunt disjuncte; (A si B sunt evenimente compatibile),

f) P(A) + P(C(A)) = 1,

(C(A) reprezinta evenimentul contrar lui A);

g) P(A\B) = P(A) - P(B), daca B este inclusa in A; (B implica A).

Definitie:

Fie A si B doua evenimente; se numeste probabilitate a evenimentului A, conditionata

de evenimentul B, numarul notat

${P_{B}(A)}$ {P_{B}(A)}

si definit prin formula:

$P_{B}(A)=\frac{P({A}\cap{B})}{P(B)},\;P(B)\not=0.$ P_{B}(A)=\frac{P({A}\cap{B})}{P(B)},\;P(B)\not=0.

Teorema:

Fie A, B, C, ..., evenimente; atunci:

$1)\;P({A}\cap{B})={P(A)}\cdot{P_{A}(B)};$ 1)\;P({A}\cap{B})={P(A)}\cdot{P_{A}(B)};

$2)\;P({A}\cap{B}\cap{C})={P(A)}\cdot{P_{A}(B)}\cdot{P_{{A}\cap{B}}(C)}.$ 2)\;P({A}\cap{B}\cap{C})={P(A)}\cdot{P_{A}(B)}\cdot{P_{{A}\cap{B}}(C)}.

Definitii:

a) Evenimentele A si B se numesc independente, daca:

$P({A}\cap{B})={P(A)}\cdot{P(B)};$ P({A}\cap{B})={P(A)}\cdot{P(B)};

(in caz contrar, evenimentele se numesc dependente).

b) Evenimentele A, B si C se numesc independente, daca:

$P({A}\cap{B})={P(A)}\cdot{P(B)},$ P({A}\cap{B})={P(A)}\cdot{P(B)},
$P({A}\cap{C})={P(A)}\cdot{P(C)},$ P({A}\cap{C})={P(A)}\cdot{P(C)},
$P({B}\cap{C})={P(B)}\cdot{P(C)}$ P({B}\cap{C})={P(B)}\cdot{P(C)}

$P({A}\cap{B}\cap{C})={P(A)}\cdot{P(B)}\cdot{P(C)}.$ P({A}\cap{B}\cap{C})={P(A)}\cdot{P(B)}\cdot{P(C)}.

Scheme clasice de probabilitate:

1) Schema lui Poisson:

Daca evenimentele Ai, i = 1, 2, 3, ... , n sunt independente si P(Ai) = pi,

atunci probabilitatea de a se realiza k din cele n evenimente (si n-k sa nu

se realizeze) este coeficientul lui

$X^k\;din\;polinomul\;f=({p_1}X+q_1)({p_2}X+q_2)\cdots({p_n}X+q_n),$ X^k\;din\;polinomul\;f=({p_1}X+q_1)({p_2}X+q_2)\cdots({p_n}X+q_n),

unde qi = 1 - pi, i = 1, 2, 3, ... , n.

2) Schema lui Bernoulli (caz particular al schemei lui Poisson):

Evenimentele sunt echiprobabile, adica

pi = q, i = 1, 2, 3, ... , n, atunci probabilitatea de a se realiza k din cele n evenimente

este coeficientul lui

$X^K\;din\;polinomul\;(pX+q)^n,$ X^K\;din\;polinomul\;(pX+q)^n,

adica

$P_n(k)={C_n^k}{p^k}{q^{n-k}},$ P_n(k)={C_n^k}{p^k}{q^{n-k}},

unde q = 1 - p.

(vezi exemplu)

3) Schema hipergeometrica (schema bilei neintoarse):

Fie o urna care contine (a+b) bile (a-albe, b-negre); se extrag succesiv n bile, unde

$(n\leq{a+b}),$ (n\leq{a+b}),

fara a repune bila extrasa in urna, (sau simultan cele n bile).

Probabilitatea obtinerii a k bile albe este data de formula:

${P_n}(k)=\frac{{{\mathcal{C}}_a^k}\cdot{{\mathcal{C}}_b^{n-k}}}{{\mathcal{C}}_{a+b}^n}.$ {P_n}(k)=\frac{{{\mathcal{C}}_a^k}\cdot{{\mathcal{C}}_b^{n-k}}}{{\mathcal{C}}_{a+b}^n}.

Postat în PROBABILITATI

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

sumalui gauss

negrici, 14.10.2010 16:47

unde pot gasi definitia a sumei lui gauss

Răspuns: La BREVIAR TEORETIC / IDENTITATI si PROGRESII .

probleme

lexus, 08.02.2010 23:37

ne puteti da si niste exemple la probabilitati,sau niste probleme rezolvate..is foarte dificile d inteles knd nu are cine sa te ajute

Răspuns: Ma voi conforma cat de curand! ;)

LE FRANCAIS

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

Trimite un sms şi beneficiezi de consultanţă online !