Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Definitii:

Propozitie:

Un enunt care afirma sau neaga ceva si care este fie adevarat, fie fals. Distingem 2

tipuri de propozitii:

1) Propozitie simpla: propozitie care nu comporta decat un singur subiect, un singur

verb si un singur atribut.

Exemplu:

"Numarul 24 este divizibil cu 8" (propozitie, evident, adevarata).

2) Propozitie compusa: propozitie obtinuta prin combinarea de propozitii simple, cu

ajutorul conectorilor logici: negatie, disjunctie si conjunctie.

Exemplu:

"(Ecuatia x² + 1 = 0 are radacini reale in multimea numerelor reale) sau (25

este patrat perfect)" (disjunctie intre un predicat fals si o propozitie adevarata).

• Valoare de adevar:

Este proprietatea unei propozitii (p) de a fi adevarata sau falsa. Conventional, se

noteaza cu v(p) si v(p) = 1 (sau A) daca propozitia p este adevarata si v(p) = 0

(sau F) daca propozitia p este falsa.

• Predicat (propozitie cu variabile, sau propozitie deschisa):

Propozitie a carei valoare de adevar depinde de valorile atribuite variabilelor; in

definirea unui predicat trebuie specificata intotdeauna si multimea parcursa de

variabila (variabile), numita si universul discursului.

• Exemplu: "Ecuatia 2x + 10 = 0, unde x apartine multimii numerelor reale" este un

predicat cu o singura variabila (numit si predicat unar), care devine o propozitie

adevarata pentru x = - 5 (avand, deci,valoarea de adevar 1), sau o propozitie falsa

pentru orice alta valoare atribuita lui x (avand valoarea de adevar 0).

• Observatie:  

Multimea valorilor care, atribuite variabilelor predicatului, confera acestuia statut de

propozitie adevarata, se numeste multimea de adevar a predicatului respectiv.

• Cuantificatorul existential:

Propozitia "exista cel putin un x, astfel incat p(x)" se numeste

propozitie existentiala, asociata predicatului p(x).

Notatie folosita: \exists{p(x)}.

Simbolul \exists se citeste "exista (cel putin)" si se numeste

cuantificator existential.

• Cuantificatorul universal:

Propozitia "oricare ar fi x din X, are loc p(x)" (X fiind o multime nevida, careia ii

apartine variabila x) se numeste propozitie universala, asociata predicatului p(x).  

Notatie folosita: \forall{x}\in{X}:{p(x)}.

Simbolul \forall se citeste "oricare ar fi" si se numeste cuantificator universal.

Operatii logice elementare:

1) Negatia unei propozitii: 

Fiind data o propozitie notata cu p, numim negatia sa (sau contrara sa) acea

propozitie, notata cu

\bar{p},

(a se citi "non-p"), care este falsa daca p este adevarata si care este adevarata daca p

Sugestiv, aceasta definitie poate fi ilustrata prin urmatoarea tabla de adevar:

p	\bar{p}
1	0
0	1

2) Disjunctia propozitiilor: 

Fiind date propozitiile p si q, numim disjunctia acestora acea propozitie, notata cu

{p}\vee{q},

(a se citi "p sau q") si a carei valoare de adevar rezulta din tabla de adevar:

p	q	{p}\vee{q}
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Observatii:

a) Disjunctia este falsa daca ambele propozitii sunt false si adevarata in

celelalte cazuri.

b) Disjunctia a n propozitii este falsa daca toate propozitiile sunt false si adevarata in

rest.

3) Conjunctia propozitiilor:

Fiind date 2 propozitii p si q, numim conjunctia lor, notata cu

{p}\wedge{q},

( a se citi "p si q") acea propozitie definita prin urmatoarea tabla de adevar:

p	q	{p}\wedge{q}
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Observatii:

a) Conjunctia este adevarata cand ambele propozitii sunt adevarate si falsa in rest.

b) Conjunctia a n propozitii este adevarata cand toate propozitiile sunt adevarate si

falsa in celelalte cazuri

4) Implicatia propozitiilor:

Propozitia

\bar{p}\vee{q},\;notata\;si\;sub\;forma\;{p}\Rightarrow{q},

(a se citi "p implica q") se numeste implicatie ; p se numeste ipoteza, iar q se

numeste concluzie. Rezulta urmatoarea tabla de adevar:

p	q	\bar{p}	\bar{p}\vee{q}
1	1	0	1
1	0	0	0
0	1	1	1
0	0	1	1

Observatii:

a) Implicatia "p implica q", foarte des utilizata in demonstratii matematice, mai are si

urmatoarele interpretari:

• Daca p, atunci q;
• p este conditie suficienta pentru q;
• q este conditie necesara pentru p.

b) Implicatia "p implica q" este structura logica a tuturor teoremelor directe

(ipoteza p are drept consecinta concluzia q).

c) Din tabla de adevar se constata ca:

• O implicatie, cu ipoteza adevarata, este adevarata numai daca si concluzia este adevarata;
• O implicatie este falsa intr-un singur caz: ipoteza adevarata si concluzie falsa!
• Falsul implica orice! (foarte important de stiut acest lucru: a nu se construi rationamente pornind de la premize false!).

5) Echivalenta propozitiilor:

Propozitia p <= > q (a se citi "p este echivalent cu q") reprezinta conjunctia a

doua implicatii, anume: (p = > q) si (q = > p), avand tabla de adevar:

p	q	{p}\Rightarrow{q}	{q}\Rightarrow{p}	{p}\Leftrightarrow{q}
1	1	1	1	1
1	0	0	1	0
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

Observatii:

a) Doua propozitii sunt echivalente daca si numai daca ambele au aceeasi valoare de

adevar (ambele adevarate sau ambele false).

b) Se spune ca propozitiile "p si q sunt echivalente", sau "propozitia p este conditie

necesara si suficienta pentru propozitia q", sau "p daca si numai daca q".

c) Daca o teorema directa are structura logica "p implica q", atunci reciproca sa

(adevarata sau falsa!) are structura "q implica p". 

Deci o teorema care admite reciproca reprezinta, din punct de vedere logic, o

echivalenta intre ipoteza si concluzie.