Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 10 Octombrie, 2011

Coordonate carteziene in plan:

Fiind dat un sistem de coordonate carteziene xOy, se stie ca intre multimea

punctelor planului (p) si multimea R² (produsul cartezian RXR, sau multimea

tuturor perechilor ordonate (x,y), cu x si y numere reale) exista exista o

corespondenta bijectiva f:(p) - >R², adica pentru orice punct M din planul (p), exista

un cuplu unic (x,y), astfel incat f(M) = (x,y).

Numerele x si y sunt abscisa, respectiv ordonata punctului M, ele fiind numite

coordonatele carteziene ale punctului M. Notatie: M(x,y).

Distanta intre doua puncte A(a,b) si B(c,d) din plan:

$d(A,B)=AB=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}.$ d(A,B)=AB=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}.

Coordonate polare in plan:

Fie un punct fix O (numit pol sau origine) si o semiaxa de asemenea fixa [Ox

(numita axa polara); pentru un punct oarecare M din planul (p), diferit de O,

sa notam cu ρ = d(O,M) si cu φ masura unghiului format de [Ox cu [OM,

in sens trigonometric, unde φ € [0, 2π).

Se constata usor ca punctului M ii corespunde o unica pereche ordonata (cuplu),

anume (ρ, φ), astfel incat putem afirma ca functia

f:(p)\{O} - > {(ρ,φ)|ρ € (0, +00), φ € [0,2π)}, f(M) = (ρ,φ), este bijectiva.

Cele doua numere reale, ρ si φ, unice, se numesc coordonatele polare

ale punctului M: ρ se numeste raza vectoare ( sau modul) a punctului M,

iar φ se numeste faza, amplitudine sau argument.

Observatie:

Pentru punctul O, ρ = 0, iar φ este nedeterminat.

Relatiile intre coordonatele carteziene si polare ale aceluiasi punct:

Considerand axa polara ca axa absciselor si axa perpendiculara in O pe axa polara

ca axa ordonatelor, se gasesc relativ usor legaturile intre coordonnatele carteziene

(x, y) si coordonatele polare (ρ, φ) ale aceluiasi punct M:

x = ρ·cosφ, y = ρ·sinφ.

Rezulta imediat:

x² + y² = ρ²,

$\rho=\sqrt{x^2+y^2},$ \rho=\sqrt{x^2+y^2},

$cos{\varphi}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},$ cos{\varphi}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},

$sin{\varphi}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$ sin{\varphi}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.