Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DERIVABILE

Data publicării : 08 Noiembrie, 2008

1) TEORIE

Teorema lui Fermat:

Fie funcţia $f:{I}\rightarrow{\mathbb{R}},$ f:{I}\rightarrow{\mathbb{R}},

derivabilă pe intervalul I;dacă ${x}_{\circ}$ {x}_{\circ} este un punct de extrem local al

funcţiei f, interior intervalului I, atunci:

$f$ f'({x}_{\circ})=0.

Teorema lui Rolle:

$Fie\;functia\;f:I\rightarrow{\mathbb{R}}\;si\;{a,b}\in{I},\;{a}<{b}.$ Fie\;functia\;f:I\rightarrow{\mathbb{R}}\;si\;{a,b}\in{I},\;{a}<{b}.

Daca:

$1)$ 1) $f\;este\;continua\;pe\;[a,b],$ f\;este\;continua\;pe\;[a,b],

$2)$ 2) $f\;este\;derivabila\;pe\;(a,b),$ f\;este\;derivabila\;pe\;(a,b),

$3)$ 3) $f(a) = f(b),$ f(a) = f(b),

atunci:

$\exists{c}\in{(a,b)},\;astfel\;incat:\;{f$ \exists{c}\in{(a,b)},\;astfel\;incat:\;{f'(c)}=0.

Sirul lui Rolle:

$Fiind\; data\; o\; ecuatie\; de\; forma\;{f(x)}=0,$ Fiind\; data\; o\; ecuatie\; de\; forma\;{f(x)}=0, $unde\;f:{I}\rightarrow{\mathbb{R}}$ unde\;f:{I}\rightarrow{\mathbb{R}} $este\; o\; functie\; derivabila\; pe\; intervalul\;I,$ este\; o\; functie\; derivabila\; pe\; intervalul\;I, $numim\;sirul\; lui\; Rolle\; asociat\; functiei\;f,$ numim\;sirul\; lui\; Rolle\; asociat\; functiei\;f, $sirul\; semnelor\; valorilor$ sirul\; semnelor\; valorilor

$\alpha,{f}({c_1}),{f}({c_2}),\cdots,{f}({c_n}),\beta,$ \alpha,{f}({c_1}),{f}({c_2}),\cdots,{f}({c_n}),\beta,

$unde\;\alpha\:{si}\:\beta$ unde\;\alpha\:{si}\:\beta

$sunt\; limitele\; sau\; valorile\; functiei\;f\;la\; capetele\; intervalului\;I,\;iar$ sunt\; limitele\; sau\; valorile\; functiei\;f\;la\; capetele\; intervalului\;I,\;iar

${c_1},{c_2},\cdots,{c_n},$ {c_1},{c_2},\cdots,{c_n},

$sunt\;radacinile\;reale\;si\;distincte\;ale\;ecuatiei\;{f^{$ sunt\;radacinile\;reale\;si\;distincte\;ale\;ecuatiei\;{f^{'}}(x)=0 $(numite\;punctele\; critice\; ale\; functiei\;f)$ (numite\;punctele\; critice\; ale\; functiei\;f) $scrise\; in\;ordine\;crescatoare.\;Distingem\;urmatoarele\;cazuri:$ scrise\; in\;ordine\;crescatoare.\;Distingem\;urmatoarele\;cazuri: