Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»INTEGRALE DEFINITE

Data publicarii: 12 Iunie, 2011

PROPRIETATI

Formula Leibniz-Newton:

Fie f o functie definita pe un interval [a,b] si cu valori in R, integrabila, care admite

primitive pe [a,b].

Atunci, pentru orice primitiva F a functiei f, are loc egalitatea:

$\int_{a}^{b}{f(x){dx}}=F(b)-F(a).$ \int_{a}^{b}{f(x){dx}}=F(b)-F(a).

Teorema lui Lebesgue (cazul finit):

Fie f o functie definita pe intervalul [a,b] si cu valori in R, marginita.

Daca f are un numar finit de puncte de discontinuitate, atunci ea este integrabila pe [a,b].

Teorema:

Fie functiile f si g, definite pe intervalul [a,b] si cu valori in R si A o multime finita

inclusa in [a,b]. Daca:

a) f este integrabila pe [a,b],

b) f(x) = g(x), pentru orice x din [a,b] \ A, atunci:

Functia g este integrabila pe [a,b] si:

$\int_{a}^{b}{g(x){dx}}=\int_{a}^{b}{f(x){dx}}.$ \int_{a}^{b}{g(x){dx}}=\int_{a}^{b}{f(x){dx}}.

Teorema (privind integrabilitatea functiilor continue):

Orice functie continua f, definita pe [a,b] si cu valori in R, este integrabila pe [a,b].

Proprietatea de liniaritate a integralei definite:

Daca functiile f,g:[a,b] - > R, sunt integrabile pe [a.b] si λ € R, atunci:

a) Functia (f + g) este integrabila pe [a,b] si:

$\int_{a}^{b}{[f(x)+g(x)]{dx}}=\int_{a}^{b}{f(x){dx}}+\int_{a}^{b}{g(x){dx}}.$ \int_{a}^{b}{[f(x)+g(x)]{dx}}=\int_{a}^{b}{f(x){dx}}+\int_{a}^{b}{g(x){dx}}.

b) Functia (λ·f) este integrabila pe [a,b] si:

$\int_{a}^{b}{(\lambda\cdot{f})(x){dx}}=\lambda\cdot\int_{a}^{b}{f(x){dx}}.$ \int_{a}^{b}{(\lambda\cdot{f})(x){dx}}=\lambda\cdot\int_{a}^{b}{f(x){dx}}.

Proprietatea de aditivitate la interval a integralei definite:

Fie f o functie definita pe [a,b] cu valori in R si c in [a,b].

Daca f este integrabila pe [a,c] si pe [c,b], atunci f este integrabila pe [a,b] si are loc

egalitatea:

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}.$ \int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}.

Proprietatea de nenegativitate a integralei definite:

Daca f, definita pe [a,b] si cu valori in R, este o functie integrabila pe [a,b] si

${f(x)}\geq{0},\forall{x}\in[a,b],$ {f(x)}\geq{0},\forall{x}\in[a,b],

atunci $\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq{0}.$ \int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq{0}.

Proprietatea de monotonie a integralei definite:

Daca functiile f si g, definite pe [a,b] si cu valori in R, sunt integrabile pe[a,b] si au

proprietatea

$f(x)\leq{g(x)},\forall{x}\in{[a,b]},$ f(x)\leq{g(x)},\forall{x}\in{[a,b]},

atunci:

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{g(x)dx}.$ \int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{g(x)dx}.

Proprietatea de medie a integralei definite:

Daca:

a) f:[a,b] - > R este o functie continua pe [a,b] si

$b)\;m\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in[a,b],$ b)\;m\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in[a,b],

atunci:

${m(b-a)}\leq\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}\leq{M(b-a)}.$ {m(b-a)}\leq\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}\leq{M(b-a)}.

Consecinta:

Daca functia f:[a,b] - > R este continua, atunci exista xi € [a,b], astfel incat:

$\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}={(b-a)}\cdot{f({\xi})}.$ \int_{a}^{b}{f(x)}{dx}={(b-a)}\cdot{f({\xi})}.

Numarul real

${V}_{m}=\frac{1}{b-a}\cdot\int_{a}^{b}{f(x)dx}={f(\xi)}$ {V}_{m}=\frac{1}{b-a}\cdot\int_{a}^{b}{f(x)dx}={f(\xi)}

se numeste valoarea medie a functiei f pe [a,b].

Modulul integralei definite:

Daca f, definita pe [a,b] si cu valori in R, este continua pe [a,b], atunci functia modul

|f| este continua pe [a,b] si:

${|\int_{a}^{b}{f(x)dx}|} \leq {\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}}.$ {|\int_{a}^{b}{f(x)dx}|} \leq {\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}}.

Consecinte:

a) Daca f, definita pe [a,b] si cu valori in multimea numerelor reale nenegative, este

continua pe [a,b], atunci oricare ar fi intervalul [c,d] inclus in [a,b], are loc

inegalitatea:

${\int_{c}^{d}{f(x)dx}} \leq{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}.$ {\int_{c}^{d}{f(x)dx}} \leq{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}.

b) Daca f:[a,b] - > [0, + oo) este continua pe [a,b], si daca exista xo € [a,b] cu

f(xο) > 0, atunci:

$\int_{a}^{b}{f(x)dx>0}.$ \int_{a}^{b}{f(x)dx>0}.

Teorema de existenta a primitivelor unei functii continue:

Fie f:[a,b] - > R o functie continua.

Atunci functia F:[a,b] - > R,

$F(x)=\int_{a}^{b}{f(t)}dt,\;\forall{x}\in{[a,b]}$ F(x)=\int_{a}^{b}{f(t)}dt,\;\forall{x}\in{[a,b]}

este o primitiva a functiei f, care se anuleaza in x = a.

Postat în INTEGRALE DEFINITE

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

LE FRANCAIS

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

PROPRIETATI

Răspunsuri şi comentarii

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului