Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

»PROBLEME DIVERSE CU REZOLVARI COMPLETE-LICEU

Data publicarii: 13 Iulie, 2010

PROBLEMA-23

Suport teoretic:

Inegalitati, proprietatile logaritmilor.

Enunt:

Sa se demonstreze ca:

${\mathcal{S}}_{n-1}=\sum_{k=1}^{k=n-1}{{log}_{k+1}{(n-k+1)}}\ge{n-1},\;\forall{n}\in{\mathbb{N}},\;{n}\ge{2}.$ {\mathcal{S}}_{n-1}=\sum_{k=1}^{k=n-1}{{log}_{k+1}{(n-k+1)}}\ge{n-1},\;\forall{n}\in{\mathbb{N}},\;{n}\ge{2}.

Rezolvare:

Sa studiem inegalitatea pentru cateva valori initiale ale lui n:

$1)\;{n=2}\Rightarrow{S_1=\sum_{1}^{1}{{log}_{k+1}{(3-k)}}}={log}_22=1,\;adevarat.$ 1)\;{n=2}\Rightarrow{S_1=\sum_{1}^{1}{{log}_{k+1}{(3-k)}}}={log}_22=1,\;adevarat.

$2)\;{n=3}\Rightarrow{S_2=\sum_{1}^{2}{{log}_{k+1}{(4-k)}}}={log}_23+{log}_32={log}_23+\frac{1}{{log}_23}>2,\;adevarat.$ 2)\;{n=3}\Rightarrow{S_2=\sum_{1}^{2}{{log}_{k+1}{(4-k)}}}={log}_23+{log}_32={log}_23+\frac{1}{{log}_23}>2,\;adevarat.

$3)\;{n=4}\Rightarrow{S_3=\sum_{1}^{3}{{log}_{k+1}{(5-k)}}}={log}_24+{log}_33+{log}_42=$ 3)\;{n=4}\Rightarrow{S_3=\sum_{1}^{3}{{log}_{k+1}{(5-k)}}}={log}_24+{log}_33+{log}_42=

$=1+{log}_24+\frac{1}{{log}_24}>{3},\;adevarat.$ =1+{log}_24+\frac{1}{{log}_24}>{3},\;adevarat.

Calculele de mai sus sugereaza ca trebuie analizate, pentru cazul general,

urmatoarele ipostaze:

$I)\;n=2m,\;{m}\ge{1}\Rightarrow{S_{n-1}}=$ I)\;n=2m,\;{m}\ge{1}\Rightarrow{S_{n-1}}= $S_{2m-1}=\sum_{k=1}^{k=2m-1}{{log}_{k+1}(2m+1-k)}=$ S_{2m-1}=\sum_{k=1}^{k=2m-1}{{log}_{k+1}(2m+1-k)}=

=log22m + log3(2m - 1) + ... + logm(m + 2) + log(m + 1)(m + 1) + log(m + 2)m + ...

+log2m 2 > 2(m - 1) + 1 = n - 1, adevarat.

(in suma de mai sus sunt (m - 1) perechi de numere de forma logab si logba si la centru

numarul logm+1(m+1) = 1; in plus, s-a tinut cont de inegalitatea

logab + logba > 2, ambii logaritmi fiind, evident, pozitivi.)

$II)\;n=2m+1,\;{m}\ge{1}\Rightarrow{S_{n-1}}=$ II)\;n=2m+1,\;{m}\ge{1}\Rightarrow{S_{n-1}}= $S_{2m}=\sum_{k=1}^{k=2m}{{log}_{k+1}(2m+2-k)}=$ S_{2m}=\sum_{k=1}^{k=2m}{{log}_{k+1}(2m+2-k)}=

=log2(2m + 1) + log32m + ... + log(2m + 1) 2 > 2m = n - 1, adevarat.

(in suma de mai sus sunt m perechi de numere de forma logab si logba, fiecare cu

suma mai mare decat 2).

Postat în PROBLEME DIVERSE CU REZOLVARI COMPLETE-LICEU

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

O solutie rapida...

Valean Cornel Ioan, 22.03.2012 16:51

Observand ca produsul elementelor sumei egal departate este egal cu 1, aplic inegalitatea mediilor (AM–GM inequality) si obtin in mod direct direct S= (n-1). Q.E.D.

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

PROBLEMA-23

Răspunsuri şi comentarii

O solutie rapida...

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului