Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

»PROBLEME DIVERSE CU REZOLVARI COMPLETE.

Data publicarii: 10 Februarie, 2010

PROBLEMA-12

Suport teoretic:

Probabilitatea reuniunii de evenimente, probabilitatea evenimentului contrar, evenimente echiprobabile, evenimente independente.

Enunt:

Se arunca un zar de 3 ori si se cere probabilitatea aparitiei cel putin o data a feţei cu 2 puncte.

Raspuns:

p = 91/216.

Rezolvare:

Notez cu A,B,C evenimentele aparitiei feţei cu 2 puncte la prima aruncare, la a doua,

respectiv la a treia. Evident, trebuie calculat P(A U B U C) (de observat ca reuniunea

este dictata de optiunea "sau": aparitia la prima, sau la a doua, sau la a treia

aruncare!).

In baza proprietatii e) a probabilitatii evenimentelor si a operatiilor cu multimi,

se arata usor ca:

$P({A}\cup{B}\cup{C})=P(A)+P(B)+P(C)-P({A}\cap{B})-P({A}\cap{C})-P({B}\cap{C})+P({A}\cap{B}\cap{C}); (1)$ P({A}\cup{B}\cup{C})=P(A)+P(B)+P(C)-P({A}\cap{B})-P({A}\cap{C})-P({B}\cap{C})+P({A}\cap{B}\cap{C}); (1)

(formula care se poate si generaliza).

Avem in mod clar: P(A) = P(B) = P(C) = 1/6; (2)

$P({A}\cap{B})=P({B}\cap{C})=P({A}\cap{C})=\frac{1}{6^2};(3)$ P({A}\cap{B})=P({B}\cap{C})=P({A}\cap{C})=\frac{1}{6^2};(3)

(evenimente independente!)

$P({A}\cap{B}\cap{C})=\frac{1}{6^3};(4)$ P({A}\cap{B}\cap{C})=\frac{1}{6^3};(4)

(evenimente independente!)

Din (1), (2), (3) si (4) se obtine:

$P({A}\cup{B}\cup{C})={3}\cdot{\frac{1}{6}}-{3}\cdot{\frac{1}{6^2}}+{\frac{1}{6^3}}=\cdots=\frac{91}{216}.$ P({A}\cup{B}\cup{C})={3}\cdot{\frac{1}{6}}-{3}\cdot{\frac{1}{6^2}}+{\frac{1}{6^3}}=\cdots=\frac{91}{216}.

Observatie:

Rezolvarea se putea baza si pe proprietatea f), referitoare la legatura

dintre eveniment si evenimentul sau contrar (la nicio aruncare sa nu apara fata cu 2

puncte). Deci:

$P({A}\cup{B}\cup{C})=1-P(\mathcal{C}({A}\cup{B}\cup{C}))=1-{(\frac{5}{6})}^{3}=\cdots=\frac{91}{216}.$ P({A}\cup{B}\cup{C})=1-P(\mathcal{C}({A}\cup{B}\cup{C}))=1-{(\frac{5}{6})}^{3}=\cdots=\frac{91}{216}.