Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»CLASA X

Data publicarii: 22 Noiembrie, 2009

Suport teoretic:

Periodicitatea functiilor trigonometrice.

Enunt:

Sa se arate ca functia

f:R - > R, f(x) = 2sin3x + 3cos2x

este periodica si sa se precizeze perioada principala Tp.

Rezolvare gresita:

Fie T > 0, astfel incat f(x + T) = f(x), oricare ar fi x real,

unde T este perioada generala; rezulta:

2sin(3x + 3T) + 3cos(2x + 2T) = 2sin3x + 3cos2x, pentru orice x real.

Pentru x = 0 si x = π obtinem 2sin3T + 3cos2T = 3 si - 2sin3T + 3cos2T = 3.

Deducem imediat cos2T = 1 si, de aici, T = kπ, unde k apartine multimii N*.

Constatam, insa, ca pentru k = 3, (de exemplu), T = 3π si:

f(x + 3π) = 2sin3(x + 3π) + 3cos2(x + 3π) = 2sin(3x + 9π) + 3cos(2x + 6π) =

= - 2sin3x + 3cos2x, diferit de f(x), deci rezultatul gasit este fals !

Unde este greseala?

Solutia corecta:

In rezolvarea propusa am dedus ca daca T > 0 este perioada, atunci

T = kπ, k apartine multimii N*;

de aici nu rezulta ca numarul natural k parcurge toata multimea N*.

Trebuie verificat daca pentru toate numerele de forma T = kπ, k din N*,

identitatea f(x + T) = f(x), oricare ar fi x real este adevarata.

Se obtine cu usurinta ca egalitatea

2sin(3x + kπ) + 3cos2x = 3sin3x + 3cos2x,

pentru orice x real, este adevarata numai pentru k numar par; prin urmare,

T = 2kπ, k € N* si Tp = 2π.

Postat în CLASA X

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.