Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»CLASA X

Data publicarii: 22 Noiembrie, 2009

Suport teoretic:

Ecuatii trigonometrice.

Enunt:

Sa se rezolve, in multimea numerelor reale, ecuatia:

$\frac{1-{cos}^2x}{2sinx+1}=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}.$ \frac{1-{cos}^2x}{2sinx+1}=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}.

Rezolvare gresita:

Se scrie ecuatia sub forma:

$\frac{{sin}^2x}{2sinx+1}=sinx,$ \frac{{sin}^2x}{2sinx+1}=sinx,

se simplifica prin sinx si se obtine in final sinx = - 1, cu solutia

$x_k\in{\{(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{2}+k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\}}.$ x_k\in{\{(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{2}+k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\}}.

Se constata usor ca, de exemplu, solutiile de forma x = kπ, unde k € Z, s-au pierdut!

Unde s-a gresit?

Greseli comise:

Când s-a folosit formula

$sinx=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}},$ sinx=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}},

in loc de

$|sinx|=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$ |sinx|=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}

şi când s-a simplificat prin sinx, cu pierdere de soluţii; în plus, nu s-au precizat condiţii

de existenţă.

Raspunsul corect:

Reuniunea soluţiilor ecuaţiilor trigonometrice elementare:

sinx = 0, sinx = - 1 si sinx = - 1/3.

Postat în CLASA X

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.