Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 27 Martie, 2011

Patrulatere inscriptibile:

Orice patrulater convex, prin ale carui varfuri se poate construi un cerc, este un

patrulater inscriptibil.

Proprietati:

Unghiurile opuse ale unui patrulater inscriptibil sunt suplementare;
Intr-un patrulater inscriptibil, orice unghi exterior este congruent cu unghiul interior opus;
Intr-un patrulater inscriptibil, unghiul format de o diagonala cu o latura este congruent cu unghiul format de cealalta diagonala cu latura opusa primei laturi si reciproc:
Un patrulater convex, in care unghiul format de o diagonala cu o latura este congruent cu unghiul format de cealalta diagonala cu latura opusa primei laturi, este inscriptibil.

Inegalitatea lui Ptolemeu:

In orice patrulater convex ABCD are loc relatia:

${AC}\cdot{BD}\leq{AB}\cdot{CD}+{BC}\cdot{AD}.$ {AC}\cdot{BD}\leq{AB}\cdot{CD}+{BC}\cdot{AD}.

Teorema lui Ptolemeu:

Patrulaterul convex ABCD este inscriptibil daca si numai daca:

AC·BD = AB·CD + BC·AD.

Teorema lui Euler:

In orice patrulater, suma patratelor laturilor este egala cu suma patratelor

diagonalelor, plus de patru ori patratul segmentului care uneste mijloacele

diagonalelor:

AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4·EF.

Corolar:

In orice paralelogram, suma patratelor laturilor este egala cu suma patratelor

diagonalelor.

Poligoane regulate inscrise in cerc:

1) Triunghiul echilateral:

2) Patratul:

3) Hexagonul:

4) Poligonul cu n laturi:

latura: ${l_n}={2R}\cdot\sin{\frac{{180}^{\circ}}{n}}.$ {l_n}={2R}\cdot\sin{\frac{{180}^{\circ}}{n}}.
apotema: ${a_n}={R}\cdot\cos{\frac{{180}^{\circ}}{n}}.$ {a_n}={R}\cdot\cos{\frac{{180}^{\circ}}{n}}.