Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Suport teoretic:

Radical de ordin par / impar dintr-un numar real, functia arcsinus, inecuatie trigonometrica.

Enunt:

Sa se rezolve, in multimea numerelor reale, inecuatia trigonometrica:

\sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}.

Rezolvare gresita:

\sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}} \Leftrightarrow

\sqrt[6]{({{arcsinx}-{\pi})^2}}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}

\Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow {{arcsinx}({arcsinx}-2\pi-1)>0}\Leftrightarrow{arcsinx>0}

(pentru\;ca,\;evident,\;{arcsinx}-2\pi-1<0,\;\forall{x}\in{(-1,+1)}),

deci\;solutia\;este:\;x\in{(0;1)}.

Constatam, insa, ca pentru

x={\frac{1}{2}}\in{(0;1)},

inecuatia nu se verifica:

(un numar negativ nu este mai mare decat un numar pozitiv!)

Unde-i greseala?

Suport teoretic:

Periodicitatea functiilor trigonometrice.

Enunt:

Sa se arate ca functia

f:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}}, f(x)=2sin3x+3cos2x

este periodica si sa se precizeze perioada principala T_p.

Rezolvare gresita:

Fie\;T>0,\;astfel\;{incat}\;f(x+T)=f(x),\forall{x\in{\mathbb{R}}},

\;unde\;T\;este\;perioada\;generala;\;rezulta:

2sin(3x+3T)+3cos(2x+2T)=2sin3x+3cos2x,\forall{x\in{\mathbb{R}}}.

Pentru\;x=0\;si\;x=\pi\;obtinem\;\begin{cases}2sin3T+3cos2T=3\\-2sin3T+3cos2T=3\end{cases}.

Deducem\;{imediat}\;cos2T=1\;si,\;de\;aici,\;T=k\pi,\;k\in{\mathbb{N^*}}

Constatam,\;{insa},\;ca\;pentru\;k=3,\;(de\;exemplu),\;T=3\pi\;si:

f(x+3\pi)=2sin3(x+3\pi)+3cos2(x+3\pi)=2sin(3x+9\pi)+3cos(2x+6\pi)=

-2sin3x+3cos2x\not=f(x), deci\;rezultatul\;gasit\;este\;fals!

Unde\;este\;greseala?

Suport teoretic:

Numere reale, relatia de ordine, numere complexe nereale.

Enunt:

Fie echivalentele:

{{2>0},\;adevarat}\Leftrightarrow{1+1>0}\Leftrightarrow{1>-1}\Leftrightarrow{{i^4}>{i^2}}\Leftrightarrow{{i^2}>1}\Leftrightarrow{-1>1}\Leftrightarrow{{-2>0},\;fals}.

Unde este greseala?

Suport teoretic:

Inecuatii logaritmice.

Enunt:

Sa se rezolve in multimea numerelor reale inecuatia:

lg(x^2+1)-lg(x^2-1)>1.

Rezolvare gresita:

{lg(x^2+1)-lg(x^2-1)>1}\Leftrightarrow{lg{\frac{x^2+1}{x^2-1}}>lg{10}} \Leftrightarrow{\frac{x^2+1}{x^2-1}>10} \Leftrightarrow{x^2+1>10x^2-10} \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow {x^2}<\frac{11}{9}  \Leftrightarrow x<{\frac{\sqrt{11}}{3}} \Leftrightarrow x\in{(-\infty,\frac{\sqrt{11}}{3})}.

Se poate, insa, usor constata ca x= -2 nu  convine!

Unde s-a gresit?

Suport teoretic:

Ecuatii trigonometrice.

Enunt:

Sa se rezolve, in multimea numerelor reale, ecuatia:

\frac{1-{cos}^2x}{2sinx+1}=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}.

Rezolvare gresita:

Se scrie ecuatia sub forma:

\frac{{sin}^2x}{2sinx+1}=sinx,

se simplifica prin sinx si se obtine in final

{sinx=-1},\;cu\;solutia\;x_k\in{\{(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{2}+k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\}}.

Se constata usor ca, de exemplu, solutiile de forma x=k\pi s-au pierdut!

Unde s-a gresit?