Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»INELE SI CORPURI

Data publicarii: 13 Ianuarie, 2009

TEORIE

Inel:

Fie o multime nevida A, inzestrata cu doua legi de compozitie interna

(peste tot definite, adica multimea A este stabila faţă de cele două legi);

tripletul $(A,\oplus,\otimes)$ (A,\oplus,\otimes) se numeşte inel, în cazul când:

a) Cuplul $(A ,\oplus)$ (A ,\oplus) este grup abelian;

b) Cuplul $(A ,\otimes)$ (A ,\otimes) este monoid;

c) Legea $\otimes$ \otimes este distributivă bilateral, faţă de legea $\oplus.$ \oplus.

Dacă legea $\otimes$ \otimes este comutativă, atunci inelul este comutativ.

Observatie:

Elementele simetrizabile faţă de legea $\otimes$ \otimes se numesc unităţile inelului.

Domeniu de integritate (inel integru):

Inel comutativ, $(A,\oplus,\otimes),$ (A,\oplus,\otimes), cu cel putin doua elemente si fara divizori

ai lui zero, adica $\forall{x,y}\neq{0}\Rightarrow{x}\otimes{y}\neq{0},$ \forall{x,y}\neq{0}\Rightarrow{x}\otimes{y}\neq{0},

unde 0 reprezinta elementul neutru fata de legea $\oplus.$ \oplus.

Corp:

Fie o multime nevida K, inzestrata cu doua legi de compozitie interna (peste tot

definite, adica multimea K este stabila fata de cele doua legi).

Tripletul $(K,\oplus,\otimes)$ (K,\oplus,\otimes) se numeste corp daca acest triplet este inel in

care elementele neutre fata de cele doua legi sunt distincte, iar toate elementele din

K, diferite de elementul neutru fata de legea ${\oplus},$ {\oplus}, sunt simetrizabile fata

de legea $\otimes.$ \otimes.

Daca legea $\otimes$ \otimes este comutativa, atunci corpul este comutativ, numindu-

se, in acest caz, câmp.

Morfisme si izomorfisme de inele si corpuri:

Inelele $(A,\oplus,\otimes)$ (A,\oplus,\otimes) si $(A$ (A',\ast,\circ) se numesc omomorfe daca

exista o functie $f:{A}\rightarrow{A$ f:{A}\rightarrow{A'}, cu proprietatile:

$a)$ a) ${f({x}\oplus{y})}={f(x)}\ast{f(y)},\forall{x,y}\in{A};$ {f({x}\oplus{y})}={f(x)}\ast{f(y)},\forall{x,y}\in{A};

$b)$ b) ${f({x}\otimes{y})}={f(x)}\circ{f(y)},\forall{x,y}\in{A};$ {f({x}\otimes{y})}={f(x)}\circ{f(y)},\forall{x,y}\in{A};

$c)$ c) $f(1)=f(1^{$ f(1)=f(1^{'}),

unde 1 si 1' sunt elementele neutre ale celor doua inele, fata de legile

$\otimes,$ \otimes, respectiv o (legile multiplicative ale inelelor); functia f se numeste

morfism de inele.

Daca functia f este, in plus, bijectiva, atunci ea se numeste izomorfism de inele, iar

inelele se numesc izomorfe.

Corpurile $(K,\oplus,\otimes)$ (K,\oplus,\otimes) si $(K$ (K',\ast,\circ) se numesc omomorfe,

respectiv izomorfe, daca inelele $(K,\oplus,\otimes)$ (K,\oplus,\otimes) si $(K$ (K',\ast,\circ)

(orice corp este, in acelasi timp si inel !) sunt omomorfe sau izomorfe.

Observatii:

a) Orice morfism de la un inel (corp) la el insusi se numeste endomorfism;

b) Orice izomorfism de la un inel (corp) la el insusi se numeste automorfism;

c) Orice morfism injectiv se numeste monomorfism;

d) Orice morfism surjectiv se numeste epimorfism;

e) Daca $f:{A}\rightarrow{A$ f:{A}\rightarrow{A'} este morfism de inele, atunci

${Imf}=\begin{Bmatrix}{y}\in{A$ {Imf}=\begin{Bmatrix}{y}\in{A'}|\exists{x}\in{A}, f(x)={y}\end{Bmatrix}

(imaginea morfismului) si

$Kerf=\begin{Bmatrix} {x}\in{A}|f(x)={0$ Kerf=\begin{Bmatrix} {x}\in{A}|f(x)={0'}\end{Bmatrix},

(nucleul morfismului),

unde 0' reprezinta elementul nul al inelului A', sunt subgrupuri ale grupurilor (A',*),

respectiv $(A,\oplus).$ (A,\oplus).

Teorema 1:

Orice morfism de corpuri este monomorfism (este injectiv).

Teorema 2:

Un corp nu admite divizori ai lui zero.

Teorema 3:

Orice corp finit este comutativ (teorema lui Wedderburn).

Postat în INELE SI CORPURI

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

corpuri

ioan, 25.11.2010 09:59

E bun site-ul

Răspuns: Mulţumesc !

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

Trimite un sms şi beneficiezi de consultanţă online !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului

Developed by Hagau Ioan