Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»GEOMETRIE ANALITICA IN PLAN

Data publicarii: 24 Iulie, 2010

HIPERBOLA

Definitie:

Locul geometric al punctelor M din plan, având diferenţa distanţelor la două puncte

fixe, F şi F', numite focare, constantă.

1) Ecuatia canonica a hiperbolei:

(raportata la sistemul de coordonate construit pe axele ei de simetrie):

Daca se aleg focarele F(c;0) si F'(- c;0), c > 0 si |MF - MF'|= 2a, unde 0 < a < c si se

noteaza c² - a² = b², atunci punctul M(x,y) descrie hiperbola de ecuatie:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0.$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0.

Caz particular: daca b = a, se obtine ecuatia hiperbolei echilatere: x² - y² = a².

2) Ecuatiile parametrice ale hiperbolei:

$\begin{cases}{x} = \frac{a}{\cos{t}}\\{y} = {b}\cdot{tgt}\end{cases},$ \begin{cases}{x} = \frac{a}{\cos{t}}\\{y} = {b}\cdot{tgt}\end{cases}, ${t}\in[0;2{\pi}].$ {t}\in[0;2{\pi}].

Observatie:

Punctele A(a; 0),A'(- a; 0), se numesc varfurile hiperbolei, axa Ox se numeste axa

transversa, axa Oy se numeste axa netransversa, iar raportul (pozitiv si supraunitar)

ε = c/a se numeste excentricitatea hiperbolei; se demonstreaza ca raportul dintre

distantele unui punct oarecare M de pe hiperbola la focar si la o dreapta fixa, numita

directoare, este constant si egal cu excentricitatea:

MF / MD = MF' / MD' = ε,

unde D si D' sunt proiectiile punctului M pe directoarele corespunzatoare celor doua

focare, de ecuatii

x = a²/c (pentru F) si x = - (a²/c) (pentru F');

3) Ecuatiile tangentelor la hiperbola:

a) Intr-un punct al hiperbolei, anume T(xo,yo):

$\frac{x\cdot{x}_{\circ}}{a^2} -\frac{y\cdot{y}_{\circ}}{b^2}-1=0$ \frac{x\cdot{x}_{\circ}}{a^2} -\frac{y\cdot{y}_{\circ}}{b^2}-1=0

(ecuatia obtinuta prin "dedublare").

b) De directie data:

${y=mx\pm{\sqrt{{a^2}{m^2}-b^2}}},$ {y=mx\pm{\sqrt{{a^2}{m^2}-b^2}}},

cu conditia

${m}\in{(- \infty; - \frac{b}{a})}\cup{(\frac{b}{a}; +\infty)},$ {m}\in{(- \infty; - \frac{b}{a})}\cup{(\frac{b}{a}; +\infty)},

unde m reprezinta panta directiei date; pentru

${m} =\pm\frac{b}{a}$ {m} =\pm\frac{b}{a}

obtinem cele doua asimptote ale hiperbolei, de ecuatii:

$y=\pm{\frac{b}{a}}\cdot{x}.$ y=\pm{\frac{b}{a}}\cdot{x}.

Postat în GEOMETRIE ANALITICA IN PLAN

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

LE FRANCAIS

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

HIPERBOLA

Răspunsuri şi comentarii

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului