Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Suport teoretic:

Cercul, triunghiul echilateral inscris, patratul inscris.

Enunt:

Pe cercul C(O,R), pe care se iau punctele A, B, C si D, astfel incat AB=2R, AC este latura a triunghiului echilateral inscris, BD este latura a patratului inscris, iar

{AC}\cap{BD}=\{P\},\;unde\;\{P\}\subset{IntC(O,R)}.

Sa se calculeze lungimile segmentelor (AP) si (BP).

Raspuns:

AP=2R(\sqrt{3}-1),\;BP=R(\sqrt{6}-\sqrt{2}).

Suport teoretic:

Cercurile inscris si circumscris unui triunghi, rapoarte trigonometrice in triunghiul dreptunghic.

Enunt:

Fie triunghiul dreptunghic ABC, in care

m(\hat{A})=2\alpha.

Se construiesc cercurile inscris si circumscris si fie [AA'] diametrul cercului circumscris.

Notand cu H={AA'}\cap{BC},

se cere lungimea segmentului [HA'], stiind ca lungimea razei cercului inscris este r.

Raspuns:

{HA'}=\frac{r{sin}\alpha}{1-{sin}\alpha}.

Suport teoretic:

Progresia geometrica, teorema lui Pitagora, media geometrica.

Enunt:

Sa se afle aria triunghiului dreptunghic ABC (A este unghiul drept), stiind ca laturile b=1, c= x, a=x+y, unde x,y>0,  luate in această ordine, sunt in progresie geometrica.

Raspuns: 

\mathcal{A}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{8}}.

Suport teoretic:

Teorema lui Pitagora, triunghiul dreptunghic, progresia aritmetica, perimetrul  triunghiului.

Enunt: 

Sa se afle lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic, stiind ca sunt in progresie aritmetica si ca aria si perimetrul triunghiului se exprima prin acelasi numar.

Raspuns:

6, 8, 10.

Suport teoretic:

Teorema bisectoarei, lungimea bisectoarei, perimetrul unui triunghi, cerc circumscris unui triunghi.

Enunt: 

Se da triunghiul dreptunghic ABC, in care:

mas(\hat{A})={90}^{\circ},\;{mas(\hat{C})}={30}^{\circ}\;si\;{M}\in{(AC)},

astfel incat AM=10cm., iar [BM] este bisectoarea unghiului B.

Sa se afle:                                                                                                                                            

1. lungimea bisectoarei [BM];                                                                                              
2. lungimea catetei [AC];                                                                                                    
3. perimetrul triunghiului ABC;                                                            
4. aria cercului circumscris triunghiului ABC;                          
5. lungimea segmentului [BN], unde N apartine  segmentului (BC) si [AN] este bisectoarea unghiului A.

Raspuns:

1. 20cm.;
2. 30cm.;
3. {30}(\sqrt{3}+1)cm.;   
4. {300}\pi{cm}^{2};  
5. {10}(3-\sqrt{3})\;cm.