Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Câteva noţiuni esenţiale privind ecuaţiile dreptei şi planului în spaţiu, sunt

foarte utile, atât pentru rezolvarea de probleme, cât, mai ales, pentru

înţelegerea extensiilor de la spaţiul cu una şi două dimensiuni, la spaţiul cu trei

dimensiuni şi mai, departe, cu n dimensiuni, prin mijlocirea calculului vectorial.

DREAPTA

Data publicarii: 18.09.2009

a) Ecuatiile dreptei determinata de 2 puncte distincte, sub formă parametrica:

$\begin{cases}x=\frac{x_1+kx_2}{1+k}\\y=\frac{y_1+ky_2}{1+k}\\z=\frac{z_1+kz_2}{1+k}\end{cases},$ \begin{cases}x=\frac{x_1+kx_2}{1+k}\\y=\frac{y_1+ky_2}{1+k}\\z=\frac{z_1+kz_2}{1+k}\end{cases},

unde cele 2 puncte sunt A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), si k numar real diferit de - 1,

reprezintă raportul în care punctul curent M(x,y) împarte segmentul AB:

$\frac{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MB}}=-k.$ \frac{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MB}}=-k.

Observaţie:

Pentru k = 1 se obţin cordonatele mijlocului segmentului determinat de cele 2 puncte.

b) Ecuatiile dreptei ce trece printr-un punct M(a,b,c) si are ca vector director pe vectorul

$\vec{v}=l\vec{i}+m\vec{j}+n\vec{k}:$ \vec{v}=l\vec{i}+m\vec{j}+n\vec{k}: $\frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}.$ \frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}.

Observatii:

Numerele l, m si n se numesc parametrii directori ai vectorului/dreptei respective.
Dacă un numitor este egal cu zero, atunci numărătorul respectiv este şi el nul.

(Exemplu: daca m = 0, atunci y = b, ceea ce înseamnă că dreapta de ecuaţie

$\frac{x-a}{l}=\frac{z-c}{n}$ \frac{x-a}{l}=\frac{z-c}{n}

este situată în planul y = b).

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: DREAPTA

Postat în GEOMETRIE ANALITICA IN SPATIU|Vezi comentarii (0)

PLANUL

Data publicarii: 03.03.2011

a) Ecuatia carteziana generala a planului:

ax + by + cz + d = 0,

unde a, b, c, d sunt numere reale, iar numarul real a² + b² + c² este nenul.

b) Ecuatia planului prin taieturi:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0 ,

dacă planul taie axele de coordonate în punctele A(a,0,0), B(0,b,0) si C(0,0,c).

c) Ecuatia planului ce trece prin 3 puncte necoliniare, sub forma de determinant:

$\left|\begin{array}{cccc}x&y&z&1\\x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\end{array}\right|=0.$ \left|\begin{array}{cccc}x&y&z&1\\x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\end{array}\right|=0.

Observaţie:

Din această ecuaţie a planului se obţine condiţia de coliniaritate a 4 puncte în spaţiu:

$\left|\begin{array}{cccc}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\end{array}\right|=0.$ \left|\begin{array}{cccc}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\end{array}\right|=0.

d) Ecuatiile parametrice ale planului determinat de 3 puncte necoliniare:

$\begin{cases}x=x_1+\alpha(x_2-x_1)+\beta(x_3-x_1)\\y=y_1+\alpha(y_2-y_1)+\beta(y_3-y_1)\\z=z_1+\alpha(z_2-z_1)+\beta(z_3-z_1)\end{cases},\;{\alpha,\beta}\in{\mathbb{R}}.$ \begin{cases}x=x_1+\alpha(x_2-x_1)+\beta(x_3-x_1)\\y=y_1+\alpha(y_2-y_1)+\beta(y_3-y_1)\\z=z_1+\alpha(z_2-z_1)+\beta(z_3-z_1)\end{cases},\;{\alpha,\beta}\in{\mathbb{R}}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: PLANUL

Postat în GEOMETRIE ANALITICA IN SPATIU|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 1

Data publicarii: 01.09.2010

Suport teoretic:

Ecuatia dreptei in spatiu, ecuatia planului, distanta de la un punct la o dreapta in spatiu, distanta dintre doua puncte in spatiu, normala la plan, ecuatiile parametrice ale dreptei in spatiu.

Enunt:

Sa se afle distanta de la punctul M(1,0,1) la dreapta

$(\delta):\;\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}.$ (\delta):\;\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}.