Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 20 Noiembrie, 2009

Suport teoretic:

Piramida patrulatera regulata, sectiune paralela cu baza, aria laterala a piramidei si a trunchiului de piramida regulata.

Enunt:

Se da o piramida patrulatera regulata, avand latura bazei de lungime a si inaltimea de

lungime h.

Sa se afle lungimea x a laturii sectiunii paralela cu baza, astfel incat ariile laterale ale

celor doua poliedre obtinute sa fie egale.

Raspuns:

$x=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ x=\frac{a\sqrt{2}}{2}.

Rezolvare:

Fie SABCD piramida, (SM) o apotemă a sa, A'B'C'D' pătratul definit de secţiunea

paralelă cu baza şi (SM') apotema piramidei SA'B'C'D', astfel încât S, M' şi M coliniare.

Din egalitatea ariilor laterale ale piramidei mici şi a trunchiului de piramidă se obţine,

după câteva calcule simple relaţia: x·SM' = (a + x)·MM'; (1) .

Din triunghiul dreptunghic SOM, unde O este centrul bazei piramidei iniţiale, avem:

$SM=\frac{\sqrt{4h^2+a^2}}{2}\;(2),$ SM=\frac{\sqrt{4h^2+a^2}}{2}\;(2),

iar din asemănarea triunghiurilor SA'B' şi SAB, în care SM' şi SM sunt înălţimi

omoloage, deducem:

${S{M}^{$ {S{M}^{'}}=\frac{x\sqrt{4h^2+a^2}}{2a}\;(3).

Din (2), (3) şi MM' = SM - SM' obţinem imediat:

${M{M}^{$ {M{M}^{'}}=\frac{(a-x)\sqrt{4h^2+a^2}}{2a}\;(4).

În sfârşit, din (1), (3) şi (4) se obţine o ecuaţie în x, cu singura soluţie acceptabilă:

$x=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ x=\frac{a\sqrt{2}}{2}.

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.