Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 20 Noiembrie, 2009

GEOMETRIE-9

Suport teoretic:

Tetraedru, muchii opuse, masura unui unghi, aria suprafetei triunghiulare, arie maxima, asemanarea triunghiurilor, extremul functiei de gradul al doilea.

Enunt:

Fie un tetraedru ABCD, in care muchiile opuse AB si CD formeaza un unghi de masura

α AB = 2a, AC = a si CD = 3a.

Printr-un punct M, situat pe (AC), se construieste planul (p), astfel incat

(p)||AB si (p)||CD.

Sa se precizeze pozitia punctului M pentru care aria suprafetei triunghiulare

MNP ( unde N si P sunt intersectiile planului (p) cu (BC) şi, respectiv,

(AD) ) maxima.

Raspuns:

M este mijlocul lui (AC).

Rezolvare:

Din asemănarea triunghiurilor ABC şi MNC deducem:

2a/MN = a/(a - x), unde x este lungimea lui (AM). (1)

Din asemănarea triunghiurilor ACD şi AMP deducem: MP/3a = x/a. (2)

Din (1) şi (2) găsim MN = 2(a - x) şi MP = 3x, deci aria suprafeţei triunghiulare devine

succesiv:

$\mathcal{A}=\frac{{MN}\cdot{MP}\cdot{{sin}{\alpha}}}{2}=$ \mathcal{A}=\frac{{MN}\cdot{MP}\cdot{{sin}{\alpha}}}{2}= $\frac{{2(a-x)}\cdot{3x}\cdot{{sin}{\alpha}}}{2}=$ \frac{{2(a-x)}\cdot{3x}\cdot{{sin}{\alpha}}}{2}= $-{(3{sin}{\alpha})}{x}^2+({3{asin}{\alpha}})x.$ -{(3{sin}{\alpha})}{x}^2+({3{asin}{\alpha}})x.