Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»GEOMETRIE SINTETICA IN PLAN

Data publicarii: 22 Noiembrie, 2009

GEOMETRIE-19

Suport teoretic:

Cercurile inscris si circumscris unui triunghi, rapoarte trigonometrice in triunghiul dreptunghic.

Enunt:

Fie triunghiul dreptunghic ABC, in care

$m(\hat{A})=2x.$ m(\hat{A})=2x.

Se construiesc cercurile inscris si circumscris si fie [AA'] diametrul cercului circumscris.

Notand cu

$H={AA$ H={AA'}\cap{BC},

se cere lungimea segmentului [HA'], stiind ca lungimea razei cercului inscris este r.

Raspuns:

HA' = (rsinx) / (1 - sinx).

Rezolvare:

Fie C(I,r) cercul inscris, iar T punctul in care latura AC este tangenta acestui cerc.

Se deduce usor din triunghiul dreptunghic ATI ca

AT = rctgx si AI = r/sinx si, cum AH = AI + r, deducem ca

$AH=\frac{r(1+{sinx})}{sinx}$ AH=\frac{r(1+{sinx})}{sinx} $\Rightarrow$ \Rightarrow $HC=AH\cdot{tgx}$ HC=AH\cdot{tgx} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\dots$ \dots $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $HC=\frac{r(1+{sinx})}{{cosx}}$ HC=\frac{r(1+{sinx})}{{cosx}} $\Rightarrow$ \Rightarrow ${HA$ {HA'}={HC}\cdot{{tgx}},