Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Functia polinomiala de gradul n:

f:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_{\circ}, {a_k}\in{\mathbb{R}},k=\overline{0,n},{a_n}\not={0}

Cazuri particulare:

1) n = 0 (functia constanta) 

f:R - > R, f(x) = a, unde a este numar real. 

• monotona pe multimea numerelor reale si marginita; 
• graficul este o dreapta paralela cu axa absciselor.

2) n = 1 (functia de gradul I) 

f:R - > R, f(x) = ax + b, unde a si b sunt numere reale, a nenul. 

• strict crescatoare pe multimea numerelor reale , daca a > 0  si
• strict descrescatoare pe multimea numerelor reale, daca a < 0;
• graficul este o dreapta oblica fata de axele de coordonate.
• f are semnul lui a pe (- b/a,oo) si semn contrar lui a pe (-oo, - b/a).

Functia putere:

f:(0,+00) - > (0,+ 00), f(x)=x^{\alpha}, α € R.

Cazuri particulare:

a) α = 0 = > f(x) = 1,

(functie constanta, definita pe multimea numerelor reale);

b) α = n € N* = > f(x)=x^n,

(functie polinomiala, definita pe multimea numerelor reale);

c) α = - n, n € N* = > f(x)=\frac{1}{x^n},

(functie rationala, definita pe multimea numerelor reale nenule).

Observatie:

Pentru orice α real si nenul, functia putere f:(0,+00) - > (0,+ 00),

f(x)=x^{\alpha}

este bijectiva si inversa sa este:

{f^{-1}}:{(0+\infty)}\rightarrow{(0,+\infty)},{f^{-1}}(x)={x}^{\frac{1}{\alpha}}.

Functia radical:

f:D - > R,

f(x)=\sqrt[n]{x}, n € N*\{1};

daca n = 2k, k € N*, atunci D = [0,+ 00), iar daca n = 2k + 1, k numar natural nenul,

atunci domeniul de definitie D = R.

Observatii:

• Functia f:[0,+ 00) - > [0,+ 00), f(x)=\sqrt[2k]{x}

este inversabila si

{f^{-1}}:[0,+\infty)\rightarrow{[0,+\infty)},{f^{-1}}(x)=x^{2k}

este inversa sa;

• Functia f:R - > R, f(x)=\sqrt[2k+1]{x}

este inversabila si

{f^{-1}}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=x^{2k+1}

este inversa sa.

Functia exponentiala:

f:R - > (0,+ 00), f(x)=a^x, a € (0,1)U(1,+ 00);

• strict crescatoare daca a >1 si
• strict descrescatoare daca 0 < a < 1,
• bijectiva, deci inversabila.

Functia logaritmica:

f:(0,+ 00) - > R, f(x) = logax, a € (0,1)U(1,+ 00);

• strict crescatoare daca a > 1 si
• strict descrescatoare daca 0 < a < 1,
• bijectiva, deci inversabila.

Observatii:

• {y={a^x}}\Leftrightarrow{x={\log_{a}}{y}},

x€R, y€(0,+00), a€(0,1)U(1,+ 00).

• Graficele functiilor exponentiala si logaritmica, in aceeasi baza, sunt simetrice fata de bisectoarea I.
• Daca a = 10, atunci legea functiei se noteaza f(x) = lgx (logaritm zecimal)
• Daca a = e, unde e=\lim{(1+\frac{1}{n})^n}, atunci legea functiei se noteaza

        f(x) = lnx; (logaritm natural sau neperian).

Functia sinus:

f:R - > [-1;1], f(x) = sinx

• periodica, avand perioada principala Tp = 2π, 
• neinjectiva,
• surjectiva,
• marginita.
• restrictia acestei functii, anume

\bar{f}:[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\rightarrow{[-1;1]},{\bar{f}}(x)=f(x):

• strict crescatoare, 
• bijectiva, deci
• inversabila si
• inversa sa, strict crescatoare, este functia arcsinus, definita prin:

{f^{-1}}:[-1;1]\rightarrow{[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]},{f^{-1}}(x)={arcsinx}.

Functia cosinus:

f:R - > [-1;1], f(x) = cosx

• periodica, avand perioada principala Tp = 2π, 
• neinjectiva,
• surjectiva,
• marginita.
• restrictia acestei functii, anume

\bar{f}:[0,\pi]\rightarrow{[-1;1]},{\bar{f}}(x)=f(x),\forall{x}\in{[0;\pi]},

• strict descrescatoare,
• este bijectiva, deci
• inversabila si
• inversa sa, strict descrescatoare, este functia arccosinus, definita prin:

{f^{-1}}:[-1;1]\rightarrow{[0;\pi]},{f^{-1}}(x)={arccosx}.

Deci:

y = cosx < = > x = arccosy, x € [o,π], y € [-1;1].

Functia tangenta:

f:R\{(2k+1)π/2|k€Z} - > R, f(x) = tgx;

• periodica, avand perioada principala Tp = π,
• neinjectiva,
• surjectiva,
• nemarginita.
• restrictia acestei functii, anume

\bar{f}:(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\rightarrow{\mathbb{R}},{\bar{f}}(x)=f(x):

• strict crescatoare,
• este bijectiva, deci
• inversabila si inversa sa, strict crescatoare, este functia arctangenta, definita prin:

{f^{-1}}:{\mathbb{R}}\rightarrow{(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})},{f^{-1}}(x)={arctgx}.

• periodica, avand perioada principala Tp = π,
• neinjectiva,
• surjectiva,
• nemarginita.
• restrictia acestei functii, anume

\bar{f}:(0,\pi)\rightarrow{\mathbb{R}},{\bar{f}}(x)=f(x):

• strict descrescatoare,
• este bijectiva, deci
• inversabila si inversa sa, strict descrescatoare, este arccotangenta, definita prin:

{f^{-1}}:{\mathbb{R}}\rightarrow{(0,\pi)},\;{f^{-1}}(x)={arcctgx}.

Observatii:

1) Toate functiile de mai sus, precum si orice functie obtinuta din acestea, prin

aplicarea succesiva, de un numar finit de ori, a operatiilor de adunare, scadere,

inmultire, impartire, compunere si inversare, se numesc functii elementare;

2) Functiile elementare sunt continue pe domeniile lor de definitie;

3) Functiile elementare admit primitive pe orice interval inclus in domeniul lor de

definitie.