Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»FUNCTII DERIVABILE

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2008

TEORIE

Definitie:

Se spune ca o functie f:I - >R, este derivabilă în x = a, unde a aparţine intervalului I,

dacă

$\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

există şi este finită; dacă limita nu există sau este infinită, funcţia nu este derivabilă

în x = a; limita, când există, se noteaza cu f'(a).

Interpretarea geometrica a derivatei finite a unei functii intr-un punct:

Derivata finita a unei functii f:I - > R intr-un punct x = a din

intervalul I (adica f'(a)) reprezinta panta tangentei la graficul acestei functii, care

trece prin punctul T(a, f(a)); ecuatia tangentei este: y - f(a) = f'(a)(x - a).

Teorema:

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Derivata unei functii compuse:

Daca functiile u:D - > E si f:E - >R,

unde D si E sunt intervale din multimea numerelor reale, sunt derivabile, atunci functia

h = f°u:D - > R, numita compusa lor, definita prin legea h(x) = f(u(x)), pentru orice

x din D, este derivabila si h'(x) = f'(u(x))·u'(x), sau, mai simplu, (f(u))' = f'·u'.

Derivata functiei inverse:

Fie functia bijectiva f:I - > J, unde I si J sunt intervale si xo apartine lui I.

Daca f este derivabila in xo si f(xo) este numar nenul, atunci ${f}^{-1}$ {f}^{-1}

este derivabila in f(xo) si avem:

$({f}^{-1})$ ({f}^{-1})'(f({x}_{\circ})) = \frac{1}{{{f}^{'}}({x}_{\circ})}.

Operatii cu functii derivabile:

$(u + v)$ (u + v)' = u' + v'.
$(uv)$ (uv)' = u'v + uv'\Rightarrow(\prod_{k=1}^{k=n}{{u_k}})' = \sum_{k=1}^{k=n}{{u_1}{u_2}\cdots{(u_k)'}\cdots{u_n}}.
${(u^v)$ {(u^v)'}={u^v}v'\ln{u}+v{u^{v-1}}u'.
${(uv)}^{(n)}=\sum_{k=0}^{k=n}{C}_{n}^{n-k}{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}.\;(formula\; lui\; Leibniz).$ {(uv)}^{(n)}=\sum_{k=0}^{k=n}{C}_{n}^{n-k}{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}.\;(formula\; lui\; Leibniz).
$(\frac{u}{v})$ (\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2},v\neq{0}.

Derivate uzuale:

$(\frac{1}{x})$ (\frac{1}{x})' = - \frac{1}{x^2}, x \neq{0}\Rightarrow (\frac{1}{u})'= - \frac{u'}{u^2}.
$c$ c' = 0, \forall{x}\in{\mathbb{R}}.
$x$ x' =1, \forall{x}\in{\mathbb{R}}.
$({x}^{n})$ ({x}^{n})' = {n}{x}^{n-1},\forall{x}\in{{\mathbb{R}}^*},\forall{n}\in{{\mathbb{N}}^*}\Rightarrow{({u}^{n})'}= {n}{u}^{n-1}{u'}.
${({x}^{\alpha})$ {({x}^{\alpha})'} = {\alpha}{x}^{\alpha-1},\forall{x}\in{(0,\infty)},\forall{\alpha}\in{\mathbb{R}}\Rightarrow{({u}^{\alpha})'}={\alpha}{u}^{\alpha-1}{u'}.
$(\sqrt{x})$ (\sqrt{x})' =\frac{1}{2\sqrt{x}},\forall{x}\in{(0,\infty)}\Rightarrow{(\sqrt{u})'}=\frac{u'}{2\sqrt{u}}.
${(\sqrt[n]{x})$ {(\sqrt[n]{x})'}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\Rightarrow{(\sqrt[n]{u})'}=\frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}.
$({a}^{x})$ ({a}^{x})' = {a}^{x}\ln{a},\forall{x}\in{\mathbb{R}} , 0 < a \neq{1} \Rightarrow{({a}^{u})'} = {a}^{u}{u'}\ln{a}.
$({e}^{x})$ ({e}^{x})'={e}^{x} , \forall{x}\in{\mathbb{R}}\Rightarrow{({e}^{u})'} = {e}^{u}{u'}.
${(\log_{a}{x})$ {(\log_{a}{x})'} = \frac{1}{x\ln{a}} , \forall{x}\in{(0,\infty)},0 < a\neq{1}\Rightarrow{(\log_{a}{u})'} = \frac{u'}{{u}\ln{a}}.
${(\ln{x})$ {(\ln{x})'} = \frac{1}{x} , \forall{x}\in{(0,\infty)}\Rightarrow{(\ln{u})'} = \frac{u'}{u}.
$(\sin{x})$ (\sin{x})' = \cos{x},\forall{x}\in{R}\Rightarrow (\sin{u})' = (\cos{u}){u'}.
${(\cos{x})$ {(\cos{x})'}=-{\sin{x}},\forall{x}\in{R}\Rightarrow (\cos{u})'=(-\sin{u})u'.
${(tgx)$ {(tgx)'}=\frac{1}{{{\cos}^{2}}{x}}=1+{{tg}^{2}}{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}} $\Rightarrow$ \Rightarrow ${(tgu)$ {(tgu)'} = \frac{u'}{{{\cos}^{2}}{u}}=(1+{{tg}^{2}}{u})u'.
${(ctgx)$ {(ctgx)'}=-{\frac{1}{{{\sin}^{2}}{x}}}={-{(1+{ctg}^{2}{x}})},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}} $\Rightarrow$ \Rightarrow ${(ctgu)$ {(ctgu)'} = -\frac{u'}{{{\sin}^{2}}{u}}=-(1+{{ctg}^{2}}{u})u'.
$(\arcsin{x})$ (\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\forall{x}\in{(-1, 1)}\Rightarrow(\arcsin{u})' = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}.
$(\arccos{x})$ (\arccos{x})' = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\forall{x}\in{(-1, 1)}\Rightarrow(\arccos{u})' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}.
$(\sinh{x})$ (\sinh{x})' = (\frac{{e}^{x} - {e}^{-x}}{2})' =\frac{{e}^{x} + {e}^{-x}}{2}= \cosh{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\Rightarrow $(\sinh{u})$ (\sinh{u})' = (\frac{{e}^{u} - {e}^{-u}}{2})' = \frac{{e}^{u} + {e}^{-u}}{2}{u'}=(\cosh{u}){u'}.
$(\cosh{x})$ (\cosh{x})' = (\frac{{e}^{x} + {e}^{-x}}{2})' =\frac{{e}^{x} - {e}^{-x}}{2} =\sinh{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}} $\Rightarrow$ \Rightarrow $(\cosh{u})$ (\cosh{u})' = (\frac{{e}^{u} + {e}^{-u}}{2})' = (\frac{{e}^{u} - {e}^{-u}}{2}){u'}= (\sinh{u}){u'}.