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Les connaissances sur le calcul vectoriel, présentées ci-dessous, offrent

un outil très puissant pour quelques problèmes de géométrie et pas

seulement.

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VECTEURS DANS LE PLAN

Date de la publication: : 27.02.2009

Formule de Chasles:

Quelque soient les points M, N, P, on a:

$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}= \overrightarrow{MP}.$ \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}= \overrightarrow{MP}.

Vecteurs colinéaires:

Deux vecteurs (un vecteur c'est un ensemble de segments orientés équipollents)

sont colinéaires s'ils ont même direction.

Vecteurs équipollents:

Deux vecteurs ayant même direction, même sens et même module sont dits vecteurs

équipollents.

Théorème:

Les vecteurs $\vec{a}\:et\:\vec{b}$ \vec{a}\:et\:\vec{b} sont colinéaires si et seulement

s'il existe α € R, tels que

$\vec{a}={\alpha}{\vec{b}},$ \vec{a}={\alpha}{\vec{b}},

ou il existe β € R, de sorte que

$\vec{b}={\beta}{\vec{a}}$ \vec{b}={\beta}{\vec{a}} < = > $\exists{p,q}\in{\mathbb{R}},$ \exists{p,q}\in{\mathbb{R}},

pas tous les deux nuls, tels que:

${p}{\vec{a}}+{q}{\vec{b}}=\vec{0}.$ {p}{\vec{a}}+{q}{\vec{b}}=\vec{0}.

Centre de gravité d'un triangle:

Le point G est le centre de gravité du triungle ABC si et seulement si

${\overrightarrow{GA}}+{\overrightarrow{GB}}+{\overrightarrow{GC}}={\overrightarrow{0}}.$ {\overrightarrow{GA}}+{\overrightarrow{GB}}+{\overrightarrow{GC}}={\overrightarrow{0}}.

Le point G est le centre de gravité du triangle ABC

si et seulement si tout point M du plan vérifie la relation

${\overrightarrow{MG}}={\frac{1}{3}}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}).$ {\overrightarrow{MG}}={\frac{1}{3}}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}).

Décomposition d'un vecteur suivant deux vecteurs non-colinéaires:

Etant donnés deux vecteurs non-colinéaires, $\vec{u}\:et\:\vec{v},$ \vec{u}\:et\:\vec{v},

pour tout vecteur $\vec{w}$ \vec{w} du plan il existe les nombres α, β € R,

uniquement déterminés, tels que

$\vec{w}={\alpha}{\vec{u}}+{\beta}{\vec{v}}.$ \vec{w}={\alpha}{\vec{u}}+{\beta}{\vec{v}}.

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VECTEURS DANS L'ESPACE

Date de la publication: : 30.03.2011

Expression analytique d'un vecteur:

${\overrightarrow{AB}}={({x_B}-{x_A})}{\vec{i}}+{({y_B}-{y_A})}{\vec{j}}+{({z_B}-{z_A})}{\vec{k}},$ {\overrightarrow{AB}}={({x_B}-{x_A})}{\vec{i}}+{({y_B}-{y_A})}{\vec{j}}+{({z_B}-{z_A})}{\vec{k}},

où A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB).

Produit scalaire de deux vecteurs:

On appelle le produit scalaire des vecteurs $\vec{a}\:{et}\:\vec{b}$ \vec{a}\:{et}\:\vec{b}

le nombre réel noté

${\vec{a}}\cdot{\vec{b}}$ {\vec{a}}\cdot{\vec{b}}

et défini par

${\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={|\vec{a}|}\cdot{|\vec{b}|}\cdot{\cos{(\widehat{\vec{a},\vec{b}})}}.$ {\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={|\vec{a}|}\cdot{|\vec{b}|}\cdot{\cos{(\widehat{\vec{a},\vec{b}})}}.

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EXERCICE 1

Date de la publication: : 30.08.2010

Support théorique:

Triangle rectangle, centre de gravité, théorème de la bissectrice, proportions dérivées, norme d'un vecteur.

Enoncé:

Dans le triangle rectangle ABC (Â - droit) on donne: AB = 4a, AC = 3a, a > 0,

G - centre de gravité et D - le pied de la bissectrice issue du sommet C.

Calculer la longueur du segment DG.

Réponse:

$DG=\frac{a\cdot{\sqrt{37}}}{6}.$ DG=\frac{a\cdot{\sqrt{37}}}{6}.

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EXERCICE 2

Date de la publication: : 19.09.2010

Support théorique:

Opérations portées sur des vecteurs dans le plan, proportions dérivées, similitude des triangles, points alignés.

Enoncé:

Soit ABCD un parallélogramme et E, F deux points, tels que

$\overrightarrow{BE}={k}\cdot{\overrightarrow{BC}},\;{(k+1)}\cdot{\overrightarrow{FB}}+{k}\cdot{\overrightarrow{BD}}=\overrightarrow{0},\;{k}>{1}.$ \overrightarrow{BE}={k}\cdot{\overrightarrow{BC}},\;{(k+1)}\cdot{\overrightarrow{FB}}+{k}\cdot{\overrightarrow{BD}}=\overrightarrow{0},\;{k}>{1}.