Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée. RSS/XML

Identités remarquables:

• {\sin ^2}{a}+{\cos^2}{a}=1,\forall{a}\in{\mathbb{R}}.
• \sin(-x)=-\sin{x} ,\forall{x}\in{\mathbb{R}}.
• \cos{(-x)}=\cos{x} ,\forall{x}\in{\mathbb{R}}.
• {tgx} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix} (2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
• {ctgx} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus\{{k\pi}|k\in{\mathbb{Z}}\}.
• {secx}=\frac{1}{cosx},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
• {cosecx}=\frac{1}{sinx},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.  
• {tg(-x)} = {- tgx}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
• {ctg(-x)}={- ctgx},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
• \cos{(a+b)}=\cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}, \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
• \cos{2a}={{\cos}^2}{a}-{{\sin}^2}{a} = 2{{\cos}^2}{a} - 1 = 1 - 2{{\sin}^2}{a},\forall{a}\in{\mathbb{R}}.
• \cos{3a} =\ cos{a}(4{\cos^2}{a}-3),\forall{a}\in{\mathbb{R}}.
• \cos{(a-b)}=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}, \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
• \cos{(\frac{\pi}{2}-x)}=\sin{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.
• \cos{(\pi-x)}= -\ cos{x}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}.
• \cos{(x+2k\pi)} =\ cos{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}},\forall{k}\in{\mathbb{Z}}.
• \sin{(a+b)} =\ sin{a}\cos{b} +\ cos{a}\sin{b},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
• \sin{2a} = 2\sin{a}\cos{a},\forall{a}\in{\mathbb{R}}.

• \sin{3a} =\ sin{a}(3 - 4{\sin^2}{a}), \forall{a}\in{\mathbb{R}}.
• \sin{(a-b)}= \sin{a}\cos{b} - \cos{a}\sin{b}, \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
• \sin{(\frac{\pi}{2}-x)} = \cos{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.
• \sin{(\pi-x)} =\ sin{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.
• \sin{(x + 2k\pi)} =\ sin{x}, \forall{x}\in{\mathbb{R}},\forall{k}\in{\mathbb{Z}}.
• {tg(x + k\pi)} = {tgx},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1){\frac{\pi}{2}},\forall{k}\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
• {ctg(x + k\pi)} = {ctgx},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi,\forall{k}\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
• {tg({a}\pm{b})} = \frac{{tga}\pm{tgb}}{1\mp{tga}{tgb}},\forall{a,b,{a}\pm{b}\in{\mathbb{R}}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2},{k}\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
• {tg2a} =\frac{2tga}{1-{{tg}^{2}}{a}}, \forall{a}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2}, k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}\cup\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{4}, k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}.
• \sin{a}=\frac{2tg{\frac{a}{2}}}{1+{tg}^{2}{\frac{a}{2}}}, \forall{a}\in{\mathbb{R}} \setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\pi,k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
• \cos{a} =\frac{1-{tg}^{2}{\frac{a}{2}}}{1+{tg}^{2}{\frac{a}{2}}}, \forall{a}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\pi,k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
• {tga} =\frac{2tg\frac{a}{2}}{1-{{tg}^{2}}{\frac{a}{2}}}, \forall{a}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2}, k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}\cup\begin{Bmatrix}(2k+1)\pi, k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}.
• \sin{a} +\ sin{b} = 2\sin{\frac{a+b}{2}}\cos{\frac{a-b}{2}}, \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
• \sin{a}-\ sin{b} = 2\sin{\frac{a-b}{2}}\cos{\frac{a+b}{2}}, \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
• \cos{a} +\ cos{b} = 2\cos{\frac{a+b}{2}}\cos{\frac{a-b}{2}}, \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
• \cos{a} -\ cos{b} = -2\sin{\frac{a+b}{2}}\sin{\frac{a-b}{2}}, \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
• {tga}\pm{tgb}=\frac{\sin({a}\pm{b})}{{cosa}{cosb}}, \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2}, k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
• {1 + cos{2a}} = 2{{\cos}^2}{a}\Leftrightarrow{|\cos{a}|} =\sqrt{\frac{1+\cos{2a}}{2}},\forall{a}\in{\mathbb{R}}.
• {1 - cos{2a}} = 2{{\sin}^2}{a}\Leftrightarrow{|\sin{a}|} =\sqrt{\frac{1-\cos{2a}}{2}},\forall{a}\in{\mathbb{R}}.
• {\sin{a}\cos{b}}=\frac{1}{2}\cdot[\sin{(a-b)}+\sin{(a+b)}],\forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
• {\cos{a}\cos{b}}=\frac{1}{2}\cdot[\cos{(a-b)}+\cos{(a+b)}],\forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
• {\sin{a}\sin{b}}=\frac{1}{2}\cdot[\cos{(a-b)}-\cos{(a+b)}],\forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
• {\arcsin{x} +\ arccos{x}} =\frac{\pi}{2},\forall{x}\in{[-1,1]}.
• {arctgx + arcctgx} =\frac{\pi}{2},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.
• {\arcsin{(-x)}} = - {\arcsin}{x},\forall{x}\in{[-1,1]}.
• {\arccos{(-x)}} = \pi -{\arccos}{x},\forall{x}\in{[-1,1]}.
• {arctg(-x)}=-{arctgx}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}.
• {arcctg(-x)}=\pi -{arcctgx},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.
• {{\sin}^2}{x} = \frac{{tg}^{2}{x}}{1+{tg}^{2}{x}},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2},k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
• {{\cos}^2}{x} = \frac{1}{1+{tg}^{2}{x}},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2},k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.

Valeurs remarquables des fonctions trigonométriques:

	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
sin	0	\frac{1}{2}	\frac{\sqrt{2}}{2}	\frac{\sqrt{3}}{2}	1	0	-1	0
cos	1	\frac{\sqrt{3}}{2}	\frac{\sqrt{2}}{2}	\frac{1}{2}	0	-1	0	1
tg	0	\frac{\sqrt{3}}{3}	1	\sqrt{3}	/	0	/	0
ctg	/	\sqrt{3}	1	\frac{\sqrt{3}}{3}	0	/	0	/

Equations trigonométriques fondamentales:

{1)}\,{ sinx} ={ a}\in{[-1,+1]}\Leftrightarrow{x_k}={{(-1)}^{k}}\arcsin{a}+k\pi,k\in{\mathbb{Z}}.

{2)}\,{ cosx} = {a}\in{[-1,+1]}\Leftrightarrow{x_k}=\pm\arccos{a}+2k\pi,k\in{\mathbb{Z}}.

{3)}\,{ tgx} = {a}\in{\mathbb{R}}\Leftrightarrow{x_k}={arctga}+k\pi,k\in{\mathbb{Z}}.

{4)}\,{ ctgx} ={a}\in{\mathbb{R}}\Leftrightarrow{x_k}={arcctga}+k\pi,k\in{\mathbb{Z}}.

• équations trigonométriques réductibles aux équations algébriques sont les

équations de la forme P(trig(mx)) = 0, où P est un polynôme du n-ième degré,

aux coefficients réels et trig symbolise une fonction trigonométrique élémentaire

quelconque, m dans R.

En notant trig(mx) = y, on obtient l'équation algébrique P(y) = 0, du n-ième degré,

aux racines réelles y1, y2, ... ,yk, k en {1, 2, 3, ... ,n}; on résout ensuite les équations

trig(mx) = yi, i = 1, 2, 3, ... , k.

Attention!

Il est possible qu'il n'y ait pas de solutions réelles!

Equations homogènes en sinus et cosinus: sont les équations de la forme

P(sinx,cosx) = 0, ou P(u,v) est un polynôme homogène, à 2 indéterminées,

dont les termes sont des monômes ayant même degré k.

admet cosx = 0, il en résulte que, simultanément, sinx = 0, ce qui est impossible),

on obtient l'équation tg²x - 2tgx + 2 = 0 etc. 

On procède de la même façon pour les autres valeurs de k.

Observation:

Si l'équation a la forme P(u,v) = m, où m est réel non-nul et k = 2k', alors l'équation

s'homogéneise en l'écrivant sous la forme

{P(\sin{x},\cos{x})}={m}\cdot{({{\sin}^{2}}{x}+{{\cos}^{2}}{x})}^{k'}.

Equations linéaires en sinus et cosinus: sont les équations de la forme

asinx + bcosx + c = 0, où a, b, c sont des nombres réels, le produit a·b·c non-

nul (d'autres cas conduisent à des équations qui s'analysent facilement).

On distingue les méthodes suivantes de résolution:

a) Méthode de l'angle auxiliaire:

On divise l'équation par a et l'on obtient sinx + (b/a)cosx = c/a; on note b/a = tgα,$

donc α = arctg(b/a), α € (- π/2, π/2).

Après quelques calculs, on arrive a l'équation élémentaire sin(x + α) = (c/a)cosα etc.

b) Méthode de la substitution:

A l'aide des formules

\sin{x}=\frac{2tg{\frac{x}{2}}}{1+{tg}^{2}{\frac{x}{2}}}

et 

\cos{x}=\frac{1-{tg}^{2}{\frac{x}{2}}}{1+{tg}^{2}{\frac{x}{2}}},

on obtient une équation du second degré à l'inconnue

{tg}{\frac{x}{2}}

etc. 

Observation:

Puisque le nombre 

{tg}{\frac{x}{2}}

n'existe pas si x = (2k + 1)π, k € Z,

il résulte que les éventuelles solutions de cette forme peuvent se perdre;

par conséquent, en fin de compte, il faut vérifier y compris les nombres respectifs,

dans l'équation initiale.