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»TRIGONOMETRIE

La trigonométrie, en tant qu'une discipline des mathématiques, s'occupe du

mesurage des angles et des longueurs des segments , à l'aide des

fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente.

Le nécésaire pour accomplir ces activités contient de nombreux théoremes et

identités trigonométriques fondamentales.

Les voilà:

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THEORIE

Date de la publication: : 16.10.2008

Identités remarquables:

${\sin ^2}{a}+{\cos^2}{a}=1,\forall{a}\in{\mathbb{R}}.$ {\sin ^2}{a}+{\cos^2}{a}=1,\forall{a}\in{\mathbb{R}}.
$\sin(-x)=-\sin{x} ,\forall{x}\in{\mathbb{R}}.$ \sin(-x)=-\sin{x} ,\forall{x}\in{\mathbb{R}}.
$\cos{(-x)}=\cos{x} ,\forall{x}\in{\mathbb{R}}.$ \cos{(-x)}=\cos{x} ,\forall{x}\in{\mathbb{R}}.
${tgx} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix} (2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.$ {tgx} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix} (2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
${ctgx} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus\{{k\pi}|k\in{\mathbb{Z}}\}.$ {ctgx} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus\{{k\pi}|k\in{\mathbb{Z}}\}.
${secx}=\frac{1}{cosx},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.$ {secx}=\frac{1}{cosx},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
${cosecx}=\frac{1}{sinx},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.$ {cosecx}=\frac{1}{sinx},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
${tg(-x)} = {- tgx}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.$ {tg(-x)} = {- tgx}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
${ctg(-x)}={- ctgx},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.$ {ctg(-x)}={- ctgx},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.
$\cos{(a+b)}=\cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}, \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.$ \cos{(a+b)}=\cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}, \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
$\cos{2a}={{\cos}^2}{a}-{{\sin}^2}{a} = 2{{\cos}^2}{a} - 1 = 1 - 2{{\sin}^2}{a},\forall{a}\in{\mathbb{R}}.$ \cos{2a}={{\cos}^2}{a}-{{\sin}^2}{a} = 2{{\cos}^2}{a} - 1 = 1 - 2{{\sin}^2}{a},\forall{a}\in{\mathbb{R}}.
$\cos{3a} =\ cos{a}(4{\cos^2}{a}-3),\forall{a}\in{\mathbb{R}}.$ \cos{3a} =\ cos{a}(4{\cos^2}{a}-3),\forall{a}\in{\mathbb{R}}.
$\cos{(a-b)}=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}, \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.$ \cos{(a-b)}=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}, \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
$\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}=\sin{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.$ \cos{(\frac{\pi}{2}-x)}=\sin{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.
$\cos{(\pi-x)}= -\ cos{x}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}.$ \cos{(\pi-x)}= -\ cos{x}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}.
$\cos{(x+2k\pi)} =\ cos{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}},\forall{k}\in{\mathbb{Z}}.$ \cos{(x+2k\pi)} =\ cos{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}},\forall{k}\in{\mathbb{Z}}.
$\sin{(a+b)} =\ sin{a}\cos{b} +\ cos{a}\sin{b},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.$ \sin{(a+b)} =\ sin{a}\cos{b} +\ cos{a}\sin{b},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}}.
$\sin{2a} = 2\sin{a}\cos{a},\forall{a}\in{\mathbb{R}}.$ \sin{2a} = 2\sin{a}\cos{a},\forall{a}\in{\mathbb{R}}.

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 01.09.2010

Support théorique:

Equations trigonométriques élémentaires, identités trigonométriques remarquables.

Enoncé:

Trouver la somme S des solutions de l'équation trigonométrique:

4sin³x + 3cos2x - 6sinx + 1 = 0, x € [0, 2π].

Réponse:

S = (5/π)2.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 10.11.2010

Support théorique:

Résolution d'une inéquation trigonométrique, signe de la fonction du second degré, système d'inéquations, fonction sinus.

Enoncé:

Trouver le paramètre réel α, tel que

(2sinα - 1)x² - 2x + sinα < 0,

quelque soit x réel.

Réponse:

${\alpha}\in{{\bigcup}_{k\in{\mathbb{Z}}}}(\frac{7\pi}{6}+2k\pi,\frac{11\pi}{6}+2k\pi)$ {\alpha}\in{{\bigcup}_{k\in{\mathbb{Z}}}}(\frac{7\pi}{6}+2k\pi,\frac{11\pi}{6}+2k\pi)

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EXEMPLE 3

Date de la publication: : 17.06.2011

Support théorique:

Equations trigonométriques, identités trigonométriques remarquables.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation trigonométrique:

6xsin2x + 3xcosx - 4sinxcosx - cosx = 0.

Réponse:

$S=\{\frac{1}{3}\}\cup\{(2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{Z}\}\cup\{(-1)^{k+1}arcsin{\frac{1}{4}}+k\pi|k\in{Z}\}.$ S=\{\frac{1}{3}\}\cup\{(2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{Z}\}\cup\{(-1)^{k+1}arcsin{\frac{1}{4}}+k\pi|k\in{Z}\}.