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Date de la publication: : 06 Février, 2012

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Cas de congruence pour les triangles quelconques:

Pour que deux triangles quelconques, ABC et A'B'C', soient congrus, il suffit qu'ils aient:

I) (AB) Ξ (A'B'), (A'C') Ξ (A'C') et mes(A) = mes(A');

II) (AB) Ξ (A'B'), mes(A) = mes(A') et mes(C) = mes(C');

III) (AB) Ξ (A'B'), mes(A) = mes(A') et mes(B) = mes(B');

IV) (AB) Ξ (A'B'), (BC) Ξ (B'C') et (CA) Ξ (C'A');

Cas de congruence pour les triangles rectangles:

Pour que deux triangles rectangles, ABC et A'B'C' (où A et A' sont les angles droits),

soient congrus, il suffit qu'ils aient:

I) (AB) Ξ (A'B') et (AC) Ξ (A'C');

II) (AB) Ξ (A'B') et mes(B) = mes(B');

II') (AB) Ξ (A'B') et mes(C) = mes(C');

III) (BC) Ξ (B'C') et mes(B) = mes(B');

III') (BC) Ξ (B'C') et mes(C) = mes(C');

IV) (AB) Ξ (A'B') et (BC) Ξ (B'C');

IV') (AC) Ξ (A'C') et (BC) Ξ (B'C');

Théorème de Thales:

Directement:

Soit le triangle ABC et D € (AB, E € (AC; si DE || BC;

alors: DA/DB = EA/EC.

Réciproquement:

Soit le triangle ABC et D € (AB, E € (AC,

tel que DA/DB = EA/EC, ou AD/AB = AE/AC, ou AB/DB = AC/EC;

alors: DE ll BC.

Théorème fondamental de similitude:

Soit le triangle ABC et DE ll BC, A différent de D € AB, E € AC; alors:

$\Delta{ADE}\sim\Delta{ABC}.$ \Delta{ADE}\sim\Delta{ABC}.

Cas de similitude pour les triangles quelconques:

Pour que deux triangles quelconques, ABC et A'B'C', soient semblables, il suffit qu'ils aient:

I) mes(A) = mes(A') et mes(B) = mes(B');

II) mes(A) = mes(A') et AB/A'B' = AC/A'C';

III) AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'.

Théorème de la bissectrice:

Dans tout triangle ABC:

1) La bissectrice d'un angle intérieur divise le côté opposé en deux segments

proportionnels aux côtés adjacents: A'B/A'C = AB/AC, où A' c'est le point d'intersection

de la bissectrice de l'angle intérieur de A au côté BC.

2) La bissectrice d'un angle extérieur détermine sur la droite qui contient

le côté opposé des segments proportionnels aux côtés adjacents: A"B/A"C = AB/AC,

où A" c'est le point d'intersection de la bissectrice de l'angle extérieur de A à la droite

qui contient le côté BC.

Théorème de Pythagore:

Dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la

somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit:

BC² = AB² + AC².

Théorème du côté de l'angle droit:

Dans tout triangle rectangle un côté de l'angle droit est moyenne proportionnelle

entre l'hypoténuse entière et sa projection sur l'hypoténuse:

AB² = BC·BD, AC² = BC·CD,

où AD c'est la hauteur issue du sommet de l'angle droit A.

Théorème de la hauteur:

Dans tout triangle rectangle la longueur de la hauteur issue du sommet de l'angle droit

est moyenne proportionnelle entre les longueurs des segments qu'elle détermine sur

l'hypoténuse: AD² = BD·DC.

Théorème du cosinus (théorème généralisé de Pythagore):

Dans tout triangle ABC, où BC = a, AB = c et AC = b, tandis que A, B, C représentent

les mesures des angles du même triangle, on a:

a² = b² + c² - 2bccosA;
b² = c² + a² - 2cacosB;
c² = a² + b² - 2abcosC.

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