Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée.

Date de la publication: : 18 Septembe, 2009

DROITE

1) Equations de la droite déterminée par 2 points distincts, sous forme paramétrique:

$\begin{cases}x=\frac{x_1+kx_2}{1+k}\\y=\frac{y_1+ky_2}{1+k}\\z=\frac{z_1+kz_2}{1+k}\end{cases},$ \begin{cases}x=\frac{x_1+kx_2}{1+k}\\y=\frac{y_1+ky_2}{1+k}\\z=\frac{z_1+kz_2}{1+k}\end{cases},

où les 2 points sont A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), et k nombre réel différent de - 1,

représente le rapport en lequel le point courrant M(x,y) divise le segment AB:

$\frac{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MB}}=-k.$ \frac{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MB}}=-k.

Observation:

Pour k = 1 on obtient les coordonnées du milieu du segment déterminé par les deux

points.

2) Equations de la droite qui passe par un point M(a,b,c) et qui a pour vecteur directeur le vecteur

$\vec{v}=l\vec{i}+m\vec{j}+n\vec{k}:$ \vec{v}=l\vec{i}+m\vec{j}+n\vec{k}: $\frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}.$ \frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}.

Observations:

Les nombres l, m et n sont dits les paramètres directeurs du vecteur/droite respective.
Si un dénominateur est nul, alors le numérateur respectif l'est aussi. (Exemple: si m = 0, alors y = b, ce qui signifie que la droite d'équation

$\frac{x-a}{l}=\frac{z-c}{n}$ \frac{x-a}{l}=\frac{z-c}{n}

est située dans le plan y = b).

Si 2 dénominateurs sont nuls, alors la droite est paralèlle à l'un des axes de

coordonnées. (Exemple: si l = m = 0, mais n est différent de zéro, alors la droite a le

vecteur directeur director $\vec{v}=n\vec{k}$ \vec{v}=n\vec{k} et, donc, elle est paralèlle à

l'axe Oz).

Si la droite est déterminée par les points A(x1, y1, z1) et B(x2, y2, z2), alors, en

prenant pour vecteur directeur le vecteur

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1)\vec{i}+(y_2-y_1)\vec{j}+(z_2-z_1)\vec{k}$ \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1)\vec{i}+(y_2-y_1)\vec{j}+(z_2-z_1)\vec{k} ,

les équations cartésiennes de la droite deviennent:

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}.$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}.

En notant par t réel la valeur commune des rapports d'en haut, on déduit une

autre représentation paramétrique de la droite respective:

$\begin{cases}x=x_1+lt\\y=y_1+mt\\z=z_1+nt\end{cases}.$ \begin{cases}x=x_1+lt\\y=y_1+mt\\z=z_1+nt\end{cases}.

3) Forme canonique de l'équation de la droite:

$\begin{cases}x=mz+x_{\circ}\\y=nz+y_{\circ}\end{cases},$ \begin{cases}x=mz+x_{\circ}\\y=nz+y_{\circ}\end{cases},

où m, n, xo, yo sont des réels.

Observations:

La forme canonique de l'équation de la droite peut être écrite ainsi:

$\frac{x-x_{\circ}}{m}=\frac{y-y_{\circ}}{n}=\frac{z-0}{1}.$ \frac{x-x_{\circ}}{m}=\frac{y-y_{\circ}}{n}=\frac{z-0}{1}.

On peut reconnaitre de cette façon l'équation d'une droite qui passe par le point

M(xo, yo, 0) et qui a comme vecteur directeur

$\vec{v}=m\vec{i}+n\vec{j}+\vec{k},$ \vec{v}=m\vec{i}+n\vec{j}+\vec{k},

(compte tenu de la convention connue, selon laquelle dans le cas où un dénominateur

est nul, il en est de même pour le numérateur qui lui correspond).

La forme canonique s'obtient du système

$\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\a$ \begin{cases}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

qui représente la droite en tant qu'intersection de deux plans non-parallèles et

distincts, si l'expression la · b' - a' · b est non-nulle (système compatible simplement

indéterminé, dont la solution, obtenue par la règle de Cramer, exprime x et y en

fonction de z).

4) Angle aigu formé par 2 droites dans l'espace:

$\cos{\varphi}=\frac{|l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2|}{{\sqrt{{l_1}^2+{m_1}^2+{n_1}^2}}\cdot{\sqrt{{l_2}^2+{m_2}^2+{n_2}^2}}},$ \cos{\varphi}=\frac{|l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2|}{{\sqrt{{l_1}^2+{m_1}^2+{n_1}^2}}\cdot{\sqrt{{l_2}^2+{m_2}^2+{n_2}^2}}},