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Date de la publication: : 28 Juin, 2010

Définition:

Etant donnée une matrice A de type (m,n) aux éléments dans un corps commutatif,

le nombre naturel non-nul r s'apelle le rang de la matrice A ( notation rang(A) ), si la

matrice contient un mineur non-nul d'ordre r (r est inférieur, au plus égal au

min(m,n) ), tandis que tous les mineurs d'ordre r + 1 sont nuls, ou n'existent pas.

Par définition, le rang d'une matrice dont tous ses éléments sont nuls, est égal à 0.

Théorème:

Si une matrice A contient un mineur non-nul d'ordre r, tandis que tous les mineurs

d'ordre (r + 1) (s'ils existent), obtenus en bordant celle-ci par des éléments

correspondants d'une ligne et d'une colonne restantes, sont nuls, alors rang(A) = r.

En partant de ce théorème, on peut formuler l'algorithme suivant pour la recherche du

rang d'une matrice quelconque:

Soit A une matrice non-nulle ( qui contient au moins un élément non-nul).

1) Puisque r = rang(A) est au moins 1, on borde le mineur non-nul d'ordre 1, formé

d'un élément non-nul de la matrice A, par une ligne et une colonne des autres

disponibles disponibiles, jusqu'à ce qu'on obtienne un mineur d'ordre 2 non-nul;

2) Ce mineur est bordé, à son tour, jusqu'à ce qu'on obtienne un mineur d'ordre 3

non-nul et ainsi de suite.

On répète ces pas jusqu'on obtient un mineur non-nul, d'ordre r, tandis que tous les

mineurs d'ordre (r + 1) sont nuls.

A ce moment-là, l'algorithme s'achève: rang(A) = r.

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