Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée. RSS/XML

»PROBABILITES

Date de la publication: : 16 Aout, 2009

THEORIE

Définition:

On appelle probabilité d'un événement le rapport entre le nombre des cas favorables

à l'événement et le nombre des cas possibiles de l'expérience.

Propriétés des événements:

a) P(A) € [0;1], où A est un événement quelconque,

b) P(E) = 1, où E c'est l'événement sûr,

c) P(Φ) = 0, où Φ c'est l'événement impossible,

d) P(AUB) = P(A) + P(B), si A et B sont disjoints,

(A et B sont des événements incompatibles),

$e)\;P({A}\cup{B})=P(A)+P(B)-P({A}\cap{B}),$ e)\;P({A}\cup{B})=P(A)+P(B)-P({A}\cap{B}),

si A et B ne sont pas disjoints (A et B sont des événements compatibles),

f) P(A) + P(CA) = 1,

(C(A) représente l'événement contraire de A),

g) P(A\B) = P(A) - P(B), si B est inclus dans A, (B implique A).

Définition:

Soit A et B deux événements; on appelle probabilité de l'événement A conditionné par

l'événement B le nombre PB(A), défini par la formule:

$P_{B}(A)=\frac{P({A}\cap{B})}{P(B)},\;P(B)\not=0.$ P_{B}(A)=\frac{P({A}\cap{B})}{P(B)},\;P(B)\not=0.

Théorème:

Soit A, B, C, ... , des événements; alors:

$P({A}\cap{B})={P(A)}\cdot{P_{A}(B)},$ P({A}\cap{B})={P(A)}\cdot{P_{A}(B)},
$P({A}\cap{B}\cap{C})={P(A)}\cdot{P_{A}(B)}\cdot{P_{{A}\cap{B}}(C)}.$ P({A}\cap{B}\cap{C})={P(A)}\cdot{P_{A}(B)}\cdot{P_{{A}\cap{B}}(C)}.

Définitions:

Les événements A et B s'appellent indépendants si:

$P({A}\cap{B})={P(A)}\cdot{P(B)};$ P({A}\cap{B})={P(A)}\cdot{P(B)};

(dans le cas contraire, les événements s'appellent dépendants).

Les événements A, B, C s'appellent indépendants si:

$P({A}\cap{B})={P(A)}\cdot{P(B)},$ P({A}\cap{B})={P(A)}\cdot{P(B)},

$P({A}\cap{C})={P(A)}\cdot{P(C)},$ P({A}\cap{C})={P(A)}\cdot{P(C)},

$P({B}\cap{C})={P(B)}\cdot{P(C)}$ P({B}\cap{C})={P(B)}\cdot{P(C)}

$P({A}\cap{B}\cap{C})={P(A)}\cdot{P(B)}\cdot{P(C)}.$ P({A}\cap{B}\cap{C})={P(A)}\cdot{P(B)}\cdot{P(C)}.

Schémas classiques de probabilité:

1) Le schéma de Poisson:

Si les événements Ai, i= 1, 2, 3, ... , n, sont indépendants et P(Ai) = pi, alors la

probabilité de se réaliser k de ces n événements et (n-k) ne pas se réaliser c'est le

coefficient de

$X^k\;du\;polynome\;f=({p_1}X+q_1)({p_2}X+q_2)\cdots({p_n}X+q_n),$ X^k\;du\;polynome\;f=({p_1}X+q_1)({p_2}X+q_2)\cdots({p_n}X+q_n),

où qi = 1 - pi, i = 1, 2, 3, ... , n.

2) Schéma de Bernoulli (cas particulier du schéma de Poisson):

Les événements sont équiprobables, c'est-à-dire pi = q, i = 1, 2, ... , n,

alors la probabilité de se réaliser k de ces n événements c'est le coefficient de

$X^K\;du\;polynome\;(pX+q)^n,$ X^K\;du\;polynome\;(pX+q)^n,

c'est-à-dire

$P_n(k)={C_n^k}{p^k}{q^{n-k}},$ P_n(k)={C_n^k}{p^k}{q^{n-k}},

où q = 1 - p.

(voir exemple)

3) Le schéma hypergéométrique ( le schéma de la boule sans remise):

Soit une urne qui contient (a + b) boules (a-blanches, b-noires); on effectue un

tirage successif sans remise de n boules, où

$n\leq{a+b},$ n\leq{a+b},

(ou simultanément n boules).

La probabilité pour que k boules soient blanches, où

${0}\leq{k}\leq{a},$ {0}\leq{k}\leq{a},

est donnée par la formule:

${P_n}(k)=\frac{{{\mathcal{C}}_a^k}\cdot{{\mathcal{C}}_b^{n-k}}}{{\mathcal{C}}_{a+b}^n}.$ {P_n}(k)=\frac{{{\mathcal{C}}_a^k}\cdot{{\mathcal{C}}_b^{n-k}}}{{\mathcal{C}}_{a+b}^n}.

Posté dans PROBABILITES

Revenir à la catégorie principale

Ajoutez un commentaire

Réponses et commentaires:

Pour instant, aucun commentaire n'a été ajouté.

LE ROUMAIN

Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée. RSS/XML

THEORIE

Réponses et commentaires:

Sélectionner ce link pour me contacter par YAHOO MESSENGER!

CATEGORIES :

Archives du blog