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Date de la publication: : 08 Février, 2012

THEORIE

Inégalités usuelles:

${a^2 + b^2} \geq{ 2ab},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};$ {a^2 + b^2} \geq{ 2ab},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};

(égalité si et seulement si a = b)

${a^2 + b^2 + c^2}\geq{ ab + bc + ca},\forall{a,b,c}\in{\mathbb{R}};$ {a^2 + b^2 + c^2}\geq{ ab + bc + ca},\forall{a,b,c}\in{\mathbb{R}};

(égalité si et seulement si a = b = c)

$|\frac{a}{b} + \frac{b}{a}|\geq2,\forall{a,b}\in{{\mathbb{R}}^*};$ |\frac{a}{b} + \frac{b}{a}|\geq2,\forall{a,b}\in{{\mathbb{R}}^*};

(égalité si et seulement si a = b ou a = - b)

$|{x_1}+{x_2}|\leq{|{x}_{1}|+|{x}_{2}|},\forall{{x}_{1},\;{x}_{2}}\in{\mathbb{R}};$ |{x_1}+{x_2}|\leq{|{x}_{1}|+|{x}_{2}|},\forall{{x}_{1},\;{x}_{2}}\in{\mathbb{R}};

(égalité, si x1= 0 ou x2 = 0, ou x1 · x2 € [0, + oo)).

${|a|}\leq{c}\Leftrightarrow -{c}\leq{a} \leq{c},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.$ {|a|}\leq{c}\Leftrightarrow -{c}\leq{a} \leq{c},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.
${|a|}\geq{c}\Leftrightarrow {a}\in{(-\infty,-c]\cup[c,+\infty)},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.$ {|a|}\geq{c}\Leftrightarrow {a}\in{(-\infty,-c]\cup[c,+\infty)},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.

Inégalité des moyennes:

${min(a,b)}\leq{\frac{2ab}{a+b}}\leq{\sqrt{ab}}\leq{\frac{a+b}{2}}\leq{ max(a,b)},\forall{a,b}\in{(0,\infty)};$ {min(a,b)}\leq{\frac{2ab}{a+b}}\leq{\sqrt{ab}}\leq{\frac{a+b}{2}}\leq{ max(a,b)},\forall{a,b}\in{(0,\infty)};