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Date de la publication: : 11 Janvier, 2009

THEORIE

Définitions:

1) Soit A = (aij) in Mmn(C) et les nombres b1, b2, ... , bm in C.

Le système d'équations de la forme

$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$ \begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}

s'appelle système linéaire de m équations à n inconnues.

2) La matrice A s'appelle la matrice du système (ou la matrice des coefficients du

système), les nombres b1, b2, ... , bm s'appellent les termes constants du systeme,

3) La matrice

${B=\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right)}$ {B=\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right)}

s'appelle la matrice colonne des termes constants et la matrice notée

$\bar{A}\;ou\;{A/B},$ \bar{A}\;ou\;{A/B},

qui s'obtient de la matrice du système par bordage à droite par la colonne des termes

constants, donc égale à

$\left(\begin{array}{ccccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}&{b_{1}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}&{b_{2}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}&{b_{m}}\\\end{array}\right),$ \left(\begin{array}{ccccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}&{b_{1}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}&{b_{2}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}&{b_{m}}\\\end{array}\right),

s'appelle la matrice prolongée du système;

4) Si la matrice B est nulle, alors le système s'appelle système homogène.

5) A l'aide des notations d'en haut, l'equation A · X = B, c'est-à-dire

$\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}\\\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{x_2}\\\cdots\\{x_n}\\\end{array}\right)=\bf\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right),$ \left(\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}\\\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{x_2}\\\cdots\\{x_n}\\\end{array}\right)=\bf\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right),

s'appelle la forme matricielle du système linéaire.

Résolution d'un système linéaire, formé de n équations a n inconnues,

de la forme A · X = B, dont la matrice A est non - singulière,

c'est-à-dire det(A)} est non-nul:

A l'aide des matrices:

A · X = B <=> $X={{A}^{-1}}\cdot{B}.$ X={{A}^{-1}}\cdot{B}.

A l'aide des déterminants (règle de Cramer):

${x_k}=\frac{\Delta{x_k}}{\Delta},\;ou$ {x_k}=\frac{\Delta{x_k}}{\Delta},\;ou $\Delta\neq{0}\;represente$ \Delta\neq{0}\;represente

${det(A)}\neq{0},\;et$ {det(A)}\neq{0},\;et ${\Delta}{x_k}, {k}\in\begin{Bmatrix}1, 2,\cdots ,n\end{Bmatrix}$ {\Delta}{x_k}, {k}\in\begin{Bmatrix}1, 2,\cdots ,n\end{Bmatrix}

représente le déterminant obtenu de det(A) par le remplacement de la colonne k par la

colonne des termes constants.

Théorème Kronecker - Capelli:

Un systeme linéaire, formé de m équations à n inconnues est compatible (c'est-à-dire

il admet des solutions) si et seulement si le rang de la matrice du système est égal au

rang de la matrice prolongée.

(Le rang d'une matrice c'est le plus grand ordre de ses mineurs non-nuls; si la matrice

est nule, alors son rang est egal a zéro).

Téorème de Rouché:

Un systeme linéaire, formé de m équations à n inconnues est compatible si et

seulement si tous ses mineurs caractéristiques sont nuls.

(Le déterminant mineur, qui donne le rang r de la matrice du système, s'appelle le

mineur principal; les inconnues et les équations, dont les coefficients sont dans ce

mineur, s'appellent les inconnues, respectivement les équations principales, tandis-

que toutes les autres les inconnues sécondaires, respectivement les équations

sécondaires; les (m-r) mineurs, obtenus par le bordage du mineur principal par une

ligne formée des coefficients des inconnues principales, appartenant aux équations

sécondairea et de la colonne des termes constants des équations principales et de

l'équation sécondaire envisagée, s'appellent les mineurs caractéristiques, leur nombre

étant, évidemment, égal au nombre des équations sécondaires: s'il-y-a m équations à

n inconnues, et le rang de la matrice du système est égal à r, alors

${r}\leq{min(m,n)},$ {r}\leq{min(m,n)}, le nombre des inconnues principales = le nombre des

équations principales = r, le nombre des équations sécondaires = le nombre des

mineurs caractéristiques = m - r et le nombre des inconnues sécondaires = n - r.

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