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»SYSTEMES D'EQUATIONS LINEAIRES

Il y a ici les algorithmes

(fondés sur les théorèmes de Rouché et Kronecker-Capelli)

utilisés pour l'étude de la compatibilité d'un système linéaire, formé

de m équations à n inconnues et le calcul des solutions éventuelles.

THEORIE

Date de la publication: : 11.01.2009

Définitions:

1) Soit A = (aij) in Mmn(C) et les nombres b1, b2, ... , bm in C.

Le système d'équations de la forme

$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$ \begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}

s'appelle système linéaire de m équations à n inconnues.

2) La matrice A s'appelle la matrice du système (ou la matrice des coefficients du

système), les nombres b1, b2, ... , bm s'appellent les termes constants du systeme,

3) La matrice

${B=\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right)}$ {B=\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right)}

s'appelle la matrice colonne des termes constants et la matrice notée

$\bar{A}\;ou\;{A/B},$ \bar{A}\;ou\;{A/B},

qui s'obtient de la matrice du système par bordage à droite par la colonne des termes

constants, donc égale à

$\left(\begin{array}{ccccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}&{b_{1}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}&{b_{2}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}&{b_{m}}\\\end{array}\right),$ \left(\begin{array}{ccccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}&{b_{1}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}&{b_{2}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}&{b_{m}}\\\end{array}\right),

s'appelle la matrice prolongée du système;

4) Si la matrice B est nulle, alors le système s'appelle système homogène.

5) A l'aide des notations d'en haut, l'equation A · X = B, c'est-à-dire

$\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}\\\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{x_2}\\\cdots\\{x_n}\\\end{array}\right)=\bf\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right),$ \left(\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}\\\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{x_2}\\\cdots\\{x_n}\\\end{array}\right)=\bf\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right),

s'appelle la forme matricielle du système linéaire.

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 21.08.2010

Support théorique:

Système d'équations linéaires, théorème de Rouché, rang de la matrice du système, mineur principal, mineurs caractéristiques, équations principales, équations sécondaires, inconnues principales, inconnues sécondaires, système compatible dublement indéterminé.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des nombres réels le système suivant:

$\begin{cases}x-y+z+t=1\\-x+y+z-t=0\\x-y+3z+t=2\\2x-2y+4z+2t=3\\-x+y+3z-t=1\end{cases}.$ \begin{cases}x-y+z+t=1\\-x+y+z-t=0\\x-y+3z+t=2\\2x-2y+4z+2t=3\\-x+y+3z-t=1\end{cases}.

Réponse:

S = {(α, β, 1/2, 1/2 - α + β)|α, β € R)}.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 05.11.2010

Support théorique:

Système linéaire homogène, propriétés des logaritmes.

Enoncé:

Résoudre le système linéaire et homogène suivant, où 0 < a < 1, b > 1:

$\begin{cases}xlog_ab+y+log_ba+z=0\\xlog_ab+y+zlog_ba=0\\x+ylog_ab+zlog_ba=0\end{cases}.$ \begin{cases}xlog_ab+y+log_ba+z=0\\xlog_ab+y+zlog_ba=0\\x+ylog_ab+zlog_ba=0\end{cases}.

Réponse:

S = {(0, 0, 0)}.

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EXEMPLE 3

Date de la publication: : 16.06.2011

Support théorique:

Systèmes linéaires, classes résiduelles modulo n, corps commutatif, règle de Cramer.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des classes résiduelles modulo 7 le système suivant

d'équations linéaires:

$\begin{cases}\hat{2}x+y+\hat{3}z=\hat{1}\\x+y+\hat{2}z=\hat{1}\\\hat{3}x+\hat{2}y+z=\hat{3}\end{cases}.$ \begin{cases}\hat{2}x+y+\hat{3}z=\hat{1}\\x+y+\hat{2}z=\hat{1}\\\hat{3}x+\hat{2}y+z=\hat{3}\end{cases}.