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»GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLAN

Date de la publication: : 22 Novembre, 2009

GEOMETRIE-19

Support théorique:

Les cercles inscrit et circonscrit d'un triangle, les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.

Enoncé:

Soit le triangle rectangle ABC, dans lequel $m(\hat{A})=2\alpha.$ m(\hat{A})=2\alpha.

On construit les cercles inscrit et circonscrit et soit [AA'] le diamètre du cercle

circonscrit.

En notant par

$H={AA$ H={AA'}\cap{BC},

calculer la longueur du segment [HA'], en sachant que la longueur du rayon du cercle

inscrit est égale à r.

Réponse:

${HA$ {HA'}=\frac{r{sin}\alpha}{1-{sin}\alpha}.

Résolution:

Soit C(I,r)le cercle inscrit, et T le point en lequel le côté AC est tangent à celui-ci. On

en déduit facilement dans le triangle rectangle ATI que

AT = rctgx si AI = r/sinx

et, puisque AH = AI + r,

il résulte:

$AH=\frac{r(1+{sin}\alpha)}{{sin}\alpha}$ AH=\frac{r(1+{sin}\alpha)}{{sin}\alpha} $\Rightarrow$ \Rightarrow $HC=AH\cdot{{tg}\alpha}$ HC=AH\cdot{{tg}\alpha} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\dots$ \dots $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $HC=\frac{r(1+{sin}\alpha)}{{cos}\alpha}$ HC=\frac{r(1+{sin}\alpha)}{{cos}\alpha} $\Rightarrow$ \Rightarrow ${HA$ {HA'}={HC}\cdot{{tg}\alpha};