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»RELATIONS

Entre les éléments de deux ensembles non vides, A et B, peuvent exister de

certaines "relations" mathématiques (selon leur nature), par exemple:

inférieur, supérieur, égal, divisible, semblable, perpendiculaire, parallèles,

équipollents etc.

Puisqu'il-y-a pas mal de ressemblences entre les propriétés de telles

relations, il est très utile de les analyser globalement, en général, en parlant

d'une relation quelconque R entre les éléments de deux ensembles A et B,

non vides, toujours quelconques.

RELATIONS - théorie

Date de la publication: : 21.08.2011

Définition:

Etant donnés deux ensembles A et B, non vides, appelés respectivement

ensemble de départ et ensemble d'arrivée, on appelle relation binaire de A vers B,

toute proposition R vraie pour certains couples (x,y) du produit cartésien A x B.

Notation usuelle: (R, A, B).

Si la proposition R est vraie pour le couple (x,y), on note x R y (lire "x est en

relation R avec y"); on note aussi y = R(x).

Remarque:

Une relation R associe à tout élément x de A 0, 1 ou plusieurs éléments de B,

donc une relation est en fait une application de A vers P(B) (l'ensemble des parties

de l'ensemble B).

Une application de A vers B est, donc, une relation de A vers B, telle que chaque

élément x de A est associé à un, et un seul, élément de B.

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Date de la publication: : 23.08.2011

Théorème de la division au reste dans l'ensemble des entiers:

Etant donnés deux entiers a et b, où b est non nul, il existe deux entiers q et r,

uniques, tels que:

a = bq + r, où r € [0;|b|).

Cette égalité s'appelle l'identité de la division au reste pour les entiers, tandis que les nombres q et r s'appellent le quotient et respectivement le reste de la division de a par b.
Le nombre a s'appelle le dividende, tandis que b s'appelle le diviseur.
Si r = 0, on dit que a est divisible par b (a est multiple de b), ou que b divise a (b est diviseur de a); notation: b|a.
On vérifie aisément que la relation de divisibilité est une relation d'ordre partiel (puisqu'il-y-a des entiers qui ne sont pas dans cette relation; exemple: 3 et 4) dans l'ensemble des entiers non négatifs (x|x, x|y et y|x = > x = y, x|y et y|z = >x|z).

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Date de la publication: : 23.08.2011

Théorème de la division au reste dans l'ensemble des polynômes ayant les coefficients dans un anneau commutatif (A,+, ·):

Etant donné un polynôme g, dont le coefficient dominant est inversible dans l'anneau

(A, +, ·), pour tout polynôme f € A(X) (lire "polynôme f aux coefficients dans l'anneau

A et indéterminée X"), il existe les polynômes uniques q, r € A(X), tels que

f = g·q + r et grad(r) < grad(g).

Observations:

Le polynôme f s'appelle le dividende, g - le diviseur, q - le quotient et r - le reste.
Evidemment, le théorème est vrai aussi si A = K , où K est corps commutatif (champs) et g est différent du polynôme nul. Les cas particuliers le plus souvent rencontrés sont ceux où K = C, K = R, K = Q, K = Zp, p - premier (le corps des classes résiduelles modulo p, p premier), ou pour f € Z(X) (f est un polynôme aux coefficients entiers et l'indéterminée X), si g est non nul et son coefficient dominant c'est + 1 ou - 1, les seuls éléments inversibles de l'anneau (Z,+,·).

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