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»RANG D'UNE MATRICE

La résolution de nombreux problèmes de mathématiques, rencontrés dans les

classes terminales du lycée (parmi lesquels une place importante est

occupée par ceux qui sont liés de la compatibilité des systèmes d'équations

linéaires), nécessite la connaissance de quelques méthodes pratiques pour

trouver le rang d'une matrice, dont les éléments appartienent à un corps

commutatif (champs) quelconque.

Dans la suite est présenté l'algorithme utilisé couramment pour l'identification

du rang d'une matrice.

THEORIE

Date de la publication: : 28.06.2010

Définition:

Etant donnée une matrice A de type (m,n) aux éléments dans un corps commutatif,

le nombre naturel non-nul r s'apelle le rang de la matrice A ( notation rang(A) ), si la

matrice contient un mineur non-nul d'ordre r (r est inférieur, au plus égal au

min(m,n) ), tandis que tous les mineurs d'ordre r + 1 sont nuls, ou n'existent pas.

Par définition, le rang d'une matrice dont tous ses éléments sont nuls, est égal à 0.

Théorème:

Si une matrice A contient un mineur non-nul d'ordre r, tandis que tous les mineurs

d'ordre (r + 1) (s'ils existent), obtenus en bordant celle-ci par des éléments

correspondants d'une ligne et d'une colonne restantes, sont nuls, alors rang(A) = r.

En partant de ce théorème, on peut formuler l'algorithme suivant pour la recherche du

rang d'une matrice quelconque:

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 29.06.2010

Support théorique:

Rang d'une matrice, mineur non-nul d'une matrice, bordage d'un mineur.

Enoncé:

Déterminer le rang de la matrice:

$A=\begin{pmatrix}2&-3&1&4\\0&2&-1&3\\2&-1&0&7\\-4&6&-2&-8\end{pmatrix}.$ A=\begin{pmatrix}2&-3&1&4\\0&2&-1&3\\2&-1&0&7\\-4&6&-2&-8\end{pmatrix}.

Réponse:

Rang(A) = 2.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 01.07.2010

Support théorique:

Classes résiduelles modulo 7, rang d'une matrice, bordage d'un mineur, calcul d'un déterminant, nombre premier, élément symétrisable par rapport à la multiplication.

Enoncé:

Calculer le rang de la matrice aux éléments dans l'ensemble des classes

résiduelles modulo 7:

$A=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{3}&\hat{5}&\hat{4}\\\hat{2}&\hat{4}&\hat{6}&\hat{3}\\\hat{1}&\hat{4}&\hat{0}&\hat{\alpha}\end{pmatrix}.$ A=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{3}&\hat{5}&\hat{4}\\\hat{2}&\hat{4}&\hat{6}&\hat{3}\\\hat{1}&\hat{4}&\hat{0}&\hat{\alpha}\end{pmatrix}.

Réponse:

$\alpha=\hat{3}\Rightarrow{rang(A)=2};\;\alpha\not=\hat{3}\Rightarrow{rang(A)=3}.$ \alpha=\hat{3}\Rightarrow{rang(A)=2};\;\alpha\not=\hat{3}\Rightarrow{rang(A)=3}.

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