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propositions qui dépendent de la suite des nombres naturels, est celui du
raisonnement par récurrence.
La démonstration en utilisant le raisonnement par récurrence pourrait se
faire sous une des formes suivantes:
THEORIE
Date de la publication: : 11.12.2010VARIANTE I :
On donne une propositon P(n) et l'on demande la démonstration de sa vérité
pour tout nombre naturel n, plus grand ou égal au nombre naturel m.
La démonstration nécessite à effectuer deux pas, à savoir:
I) ETAPE DE LA VERIFICATION: On vérifie si P(m) est bien une proposition vraie.
II) ETAPE DE LA DEMONSTRATION DE L'IMPLICATION: P(k) => P(k + 1),
pour tout k plus grand ou égal à m.
Si toutes les deux étapes sont validées
(c'est-à-dire "P(m)" et "P(k) = > P(k + 1)" sont des propositions vraies),
alors la proposition P(n) est vraie, quel que soit n naturel plus grand ou égal à m,
conformément au principe du raisonnement par récurrence.
En effet, si dans I) on a constaté que P(m) est vraie, selon II) on aura P(m+1)
est vraie , il en est de même pour P(m+2), ainsi de suite ...
EXERCICE 1
Date de la publication: : 12.12.2010Support théorique:
Calcul d'une somme, méthode du raisonnement par récurrence, somme des premiers n termes d'une progression géométrique.
Enoncé:
Calculer la somme suivante et, après, démontrer le résultat trouvé, en utilisant le
raisonnement par récurrence:
S = 5 + 55 + 555 + ... + 555...5,
où le dernier terme de la somme contient n chiffres.
Réponse:
EXERCICE 2
Date de la publication: : 12.12.2010Support théorique:
Méthode du raisonnement par récurrence, divisibilité dans les entiers, multiple, diviseur.
Enoncé:
Montrer, de deux façons distinctes, que le nombre
est divisible par 14, quelque soit le nombre naturel n et.
EXERCICE 3
Date de la publication: : 16.01.2012Support théorique:
Raisonnement par récurrence, divisibilité dans l'ensemble des nombres naturels.
Enoncé:
Démontrer que pour tout n naturel, la relation suivante est vraie:
3|(n³ + 11·n).
CATEGORIES :
- 1. BREVIAIRE THEORIQUE pour GYMNASE.
- 2. ALGORITHMES DANS LES MATHEMATIQUES DU GYMNASE
- 3. BREVIAIRE THEORIQUE pour LYCEE.
-
4. ALGORITHMES DANS LES MATHEMATIQUES DU LYCEE
- 4.1. METHODE DES COEFFICIENTS INDETERMINES (3)
- 4.2. RAISONNEMENT PAR RECURRENCE (4)
- 4.3. ASYMPTOTES (3)
- 4.4. VARIATION ET GRAPHIQUE D'UNE FONCTION (3)
- 4.5. TRANSFORMATIONS GEOMETRIQUES DANS LE PLAN (8)
- 4.6. SUITE DE ROLLE (2)
- 4.7. INTEGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES (4)
- 4.8. SIGNE D'UNE PERMUTATION (3)
- 4.9. RANG D'UNE MATRICE (3)
- 4.10. INVERSE D'UNE MATRICE (4)
- 4.11. RESOLUTION DES SYSTEMES LINEAIRES (Rouché) (3)
- 4.12. RESOLUTION DES SYSTEMES LINEAIRES (Gauss) (3)
- 4.13. SCHEMA DE HORNER (4)
- 4.14. FORME TRIGONOMETRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE (3)
- 4.15. ALGORITHME D'EUCLIDE (nombres entiers) (3)
- 4.16. ALGORITHME D'EUCLIDE (polynomes) (3)
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