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Théorème de Fermat:

Soit la fonction f:I - > R, dérivable sur  l'intervalle I; si xo est un point d'extrémum de

la fonction f, intérieur de l' intervalle, alors: f'(xo) = 0. 

Théorème de Rolle:

Soit la fonction f:I - > R et a, b deux réels de I, alors:

1) f est continue sur [a,b] et

2) f est derivable sur (a,b) et

3) f(a) = f(b), alors il existe c en (a,b), tel que f'(c) = 0.

Suite de Rolle:

Etant donnée une équation de la forme f(x) = 0, où f: I - > R est une fonction

dérivable sur l'intervalle I, on appelle la suite de Rolle associée à la fonction f, la suite

des signes des valeurs a, f(c1), f(c2), ... , f(cn), b, où a et b sont les limites ou les

valeurs de la fonction f aux extremites de l'intervalle I, tandis que c1, c2, ... , cn, sont

les racines réelles et distinctes de l'équation f'(x) = 0 (apellées les points critiques de

la fonction f) écrites suivant l'ordre croissant. On distingue les cas suivants:

• Si dans la suite de Rolle il-y-a deux signes consécutifs identiques, alors il n'y a aucune solution réelle de l'équation f(x) = 0 dans l' intervalle respectif.
• Si dans la suite de Rolle il-y-a deux signes consécutifs différents, alors l'équation f(x) = 0 a une seule solution réelle dans l' intervalle respectif.
• Si dans la suite de Rolle il-y-a le nombre 0, par exemple f(ck) = 0, alors ck c'est racine multiple de l'équation f(x) = 0.

Conclusion:

Le nombre des solutions réelles de l'équation f(x) = 0 coincide au nombre

des changements de signe et des zéros de la suite de Rolle.

(voir exemple)

Théorème de Lagrange:

Soit la fonction f:I - > R, a,b en I, où I est un intervalle dans R et

1) f est continue sur [a,b] et

2)f est dérivable sur (a,b), alors il existe c en (a,b), tel que:

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={{f}^{'}}(c).

Conséquences: 

1) Corolaire du théorème de Lagrange:

Soit x0 dans R, un voisinage V de x0 et une fonction f:V - > R.

a) Si f est continue en x0 et dérivable sur V\{x0} et

b) S'il existe

{{lim}_{{x}\rightarrow{x_{\circ}}}{f'(x)}}\in{\mathbb{R}},

alors:

c) f est dérivable en x0 et f '(x0) = limx->x0f'(x). 

2) Fonction à la dérivé nulle:

Soit I un intervalle inclus dans R. Si:

1) f:I -> R est dérivable sur I et si

2) f'(x) = 0, pour tout x de I, alors:

3) La fonction f est constante sur I.

3) Fonctions aux dérivés égales:

Théorème de Cauchy:

Soit les fonctions f,g:I - > R, a,b appartiennent à l'intervalle I inclus dans R, et

1) f,g sont continues sur [a,b] et

2) f,g sont derivables sur (a,b) et

3) g'(x) est non-nul sur (a,b), alors:

• g(a) est différent de g(b) et
• il existe c dans (a,b), tel que

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{{{f}^{'}}(c)}{{{g}^{'}}(c)}.

Théorème de Darboux:

Si la fonction f:I - > R, où I est un intervalle dans R, est dérivable sur I, alors la

fonction dérivée f' a la propriété de Darboux sur l'intervalle I.

Règles de L'Hospital:

I) (\frac{0}{0}):

Soit les fonctions f,g:I - > R, où I est un intervalle dans R et a est un point

d'accumulation de celui-ci. Si:

• \lim_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)}=0\;et
• f\;et\;g\;sont\; derivables\; sur I-\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}\;et
• {{g}^{'}}(x)\neq{0} \forall{x}\in{{I}-\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}}\;et
• {{{g}^{ '}}(x)}\neq{0},\forall{x}\in{{I}-\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}}\;et
• \exists\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{'}}(x)}{{{g}^{'}}(x)}\in{\bar{\mathbb{R}}}},

alors la fonction f/g a de limite en x = a et:

\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{'}}(x)}{{{g}^{'}}(x)}}.

II) (\frac{\infty}{\infty}):

Soit les fonctions f,g:I - > R, où I est un intervalle dans R et a est un point

d'accumulation de celui-ci. Si:

• \lim_{{x}\rightarrow{a}}{|f(x)|}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{|g(x)|} =+\infty\;et
• f\;et\; g\;sont\;derivables\;sur\;I-\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}\;et
• {{{g}^{ '}}(x)}\neq{0},\forall{x}\in{{I}-\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}}\;et
• \exists\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{'}}(x)}{{{g}^{'}}(x)}\in{\bar{\mathbb{R}}}},

alors:

• La fonction f/g a de limite en x = a et
• \lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{'}}(x)}{{{g}^{'}}(x)}}.

Formule de Taylor (pour polynômes):

Soit P un polynôme de degré n aux coefficients réels et x = a de R, fixe. Alors:

P(x)={P(a)}+\frac{{{P}^{'}}(a)}{{1!}}{(x-a)}+\frac{{{P}^{''}}(a)}{{2!}}{{(x-a)}^2}+\cdots+\frac{{{P}^{(n)}}(a)}{{n!}}{{(x-a)}^n}.

Rôle de la première dérivée dans l'étude des fonctions:

Soit f:I - > R une fonction dérivable sur l'intervalle I. Alors:

1) La fonction f est monotone croissante sur l'intervalle I si et seulement si

{f'(x)}\geq{0},\forall{x}\in{I}.

2) La fonction f est monotone decroissante sur l'intervalle I si et seulement si

{f'(x)}\leq{0},\forall{x}\in{I}.

Rôle de la deuxième dérivée dans l'étude des fonctions:

Soit f:I - > R une fonction deux fois derivable sur l'intervalle I. Alors:

1) f est convexe sur I si et seulement si

{{f^{''}}(x)}\geq{0},\forall{x}\in{I}.

2) f est concave sur I si et seulement si

{{f^{''}}(x)}\leq{0},\;\forall{x}\in{I}.