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»INTEGRALES DEFINIES

Date de la publication: : 12 Juin, 2011

PROPRIETES

Formule Leibniz-Newton:

Soit f:[a,b] - > R une fonction integrable, qui admet des primitives sur [a,b].

Alors, pour toute primitive F de la fonction f, a lieu l'égalité:

$\int_{a}^{b}{f(x){dx}}=F(b)-F(a).$ \int_{a}^{b}{f(x){dx}}=F(b)-F(a).

Théorème de Lebesgue (cas fini):

Soit f:[a,b] - > R une fonction bornée. Si f a un nombre fini de points de discontinuité,

alors la fonction est intégrable sur [a,b].

Théorème:

Soit les fonctions f,g:[a,b] - > R et A un ensemble fini inclus dans [a,b], tel que:

a) f est intégrable sur [a,b];

b) f(x) = g(x), pour tout x € [a,b]\{A}.

Alors la fonction g est intégrable sur [a,b] et:

$\int_{a}^{b}{g(x){dx}}=\int_{a}^{b}{f(x){dx}}.$ \int_{a}^{b}{g(x){dx}}=\int_{a}^{b}{f(x){dx}}.

Théorème:

Toute fonction continue f:[a,b] - > R est intégrable sur [a,b].

Propriété de linéaireté de l'intégrale définie:

a) Si les fonctions f,g:[a,b] - > R sont intégrables sur [a;b] et λ € R, alors

la fonction (f + g) est intégrable sur [a,b] et:

$\int_{a}^{b}{[f(x)+g(x)]{dx}}=\int_{a}^{b}{f(x){dx}}+\int_{a}^{b}{g(x){dx}}.$ \int_{a}^{b}{[f(x)+g(x)]{dx}}=\int_{a}^{b}{f(x){dx}}+\int_{a}^{b}{g(x){dx}}.

b) La fonction (λ·f) est intégrable et:

$\int_{a}^{b}{(\lambda\cdot{f})(x){dx}}=\lambda\cdot\int_{a}^{b}{f(x){dx}}.$ \int_{a}^{b}{(\lambda\cdot{f})(x){dx}}=\lambda\cdot\int_{a}^{b}{f(x){dx}}.

Théorème:

Soit f:[a,b] - > R et c € [a,b]; si f est intégrable sur [a,c] et sur [c,d],

alors f est intégrable sur [a,b] et:

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}.$ \int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}.

(Relation de Chasles).

Propriété de positivité de l'intégrale définie:

Si f:[a,b] - > R est intégrable sur [a,b] et

${f(x)}\geq{0},\forall{x}\in{[a,b]},$ {f(x)}\geq{0},\forall{x}\in{[a,b]},

alors:

${\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\geq{0}.$ {\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\geq{0}.

Propriété de monotonie de l'intégrale définie:

Si les fonctions f,g:[a,b] - > R sont intégrables sur [a,b] et

$f(x)\leq{g(x)},\forall{x}\in[a,b],$ f(x)\leq{g(x)},\forall{x}\in[a,b],

alors:

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{g(x)dx}.$ \int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{g(x)dx}.

Valeur moyenne:

Si f:[a,b] - > R est une fonction continue sur [a,b] et

$m\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in[a,b],$ m\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in[a,b],

alors:

${m(b-a)}\leq\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}\leq{M(b-a)}.$ {m(b-a)}\leq\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}\leq{M(b-a)}.

Conséquence:

Si la fonction f:[a,b] - > R est continue, alors il existe xi € [a,b], tel que

$\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}={(b-a)}\cdot{f({\xi})}.$ \int_{a}^{b}{f(x)}{dx}={(b-a)}\cdot{f({\xi})}.

Le nombre réel

${V}_{m}=\frac{1}{b-a}\cdot\int_{a}^{b}{f(x)dx}={f(\xi)}$ {V}_{m}=\frac{1}{b-a}\cdot\int_{a}^{b}{f(x)dx}={f(\xi)}

s'appelle valeur moyenne de la fonction f sur [a,b].

Valeur absolue de l'intégrale définie:

Si f:[a,b] - > R est une fonction continue sur [a,b], alors

la fonction |f| est continue sur [a,b] et:

${|\int_{a}^{b}{f(x)dx}|}\leq {\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}}.$ {|\int_{a}^{b}{f(x)dx}|}\leq {\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}}.

Conséquences:

a) Si f:[a,b] - > [0,+oo) est continue sur [a,b], alors:

$\forall{[c,d]}\subset{[a,b]}:\;{\int_{c}^{d}{f(x)dx}} \leq{\int_{a}^{b}{f(x)dx}};$ \forall{[c,d]}\subset{[a,b]}:\;{\int_{c}^{d}{f(x)dx}} \leq{\int_{a}^{b}{f(x)dx}};