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»PROBLEMES DIVERS AUX RESOLUTIONS COMPLETES.

Dans cette catégorie sont présentés des problèmes où l'on détaille toutes les

étapes de résolution, destinées à illustrer les suggestions de la catégorie

"COMMENT ABORDER UN PROBLEME".

De plus, on peut y trouver aussi des références sur la manière de réflexion de

celui qui résout, dans le procéssus d'identification de la piste qui mène à la

solution, ainsi que des commentaires concernant d'autres variantes

possibles.

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PROBLEME-26

Date de la publication: : 20.05.2011

Support théorique:

Somme trigonométrique, identités trigonométriques fondamentales, raisonnement par récurrence.

Enoncé:

Démontrer que:

$\sum_{k = 1}^{n}{\sin{kx}\cos{(k + 1)x}}=\frac{\sin{nx}\sin{(n+2)x}-n{\sin^2}{x}}{2\sin{x}},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.$ \sum_{k = 1}^{n}{\sin{kx}\cos{(k + 1)x}}=\frac{\sin{nx}\sin{(n+2)x}-n{\sin^2}{x}}{2\sin{x}},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.

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PROBLEME-25

Date de la publication: : 11.10.2010

Support théorique:

Partie entière d'un réel, identité de Hermite, systèmes d'inéquations, conditions d'existence.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation suivante, où [a] représente la partie

entière du réel a:

$\frac{1}{[x]}+\frac{1}{[x+\frac{1}{2}]}=[2x].$ \frac{1}{[x]}+\frac{1}{[x+\frac{1}{2}]}=[2x].

Réponse:

${x}\in{[-1,-\frac{1}{2})}\cup{[1,\frac{3}{2})}.$ {x}\in{[-1,-\frac{1}{2})}\cup{[1,\frac{3}{2})}.

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PROBLEME-24

Date de la publication: : 05.10.2010

Support théorique:

Cardinal d'un ensemble, valeur absolue d'un réel, signe de la fonction du second degré, inéquations portées sur des valeurs absolues, opérations sur des ensembles.

Enoncé:

Calculer le cardinalul de l'ensemble M, où:

M = {x in R||x² - 5x + 6| + |4 - x²| < 6 - x - x²}.

Réponse:

Card(M) = 0.

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PROBLEME-23

Date de la publication: : 13.07.2010

Support théorique:

Inégalités, propriétés des logarithmes.

Enoncé:

Démontrer que:

${\mathcal{S}}_{n-1}=\sum_{k=1}^{k=n-1}{{log}_{k+1}{(n-k+1)}}\ge{n-1},\;\forall{n}\in{\mathbb{N}},\;{n}\ge{2}.$ {\mathcal{S}}_{n-1}=\sum_{k=1}^{k=n-1}{{log}_{k+1}{(n-k+1)}}\ge{n-1},\;\forall{n}\in{\mathbb{N}},\;{n}\ge{2}.