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»POLYNOMES AUX COEFFICIENTS COMPLEXES

Date de la publication: : 21 Juillet, 2010

THEORIE

Forme canonique:

${f}\in{\mathbb{C}[X]},f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\;{{a_n}}\neq{0},$ {f}\in{\mathbb{C}[X]},f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\;{{a_n}}\neq{0},

où an, n, ao et X sont, respectivement, le coefficient dominant, le degré, le terme

constant et l'indéterminé du polynôme f.

Définitions et propriétés:

Le polynôme f = ao (nombre réel non-nul) s'appelle polynôme constant et son

degré est égal à zéro et le polynôme f = 0, dont tous ses coefficients sont nuls,

s'appelle le polynôme nul, son degré étant, par définition, égal à - oo.

Un nombre complexe a s'appelle racine du polynôme f ou de l'équation

algébrique f(x) = 0, si f(a) = 0.

On dit que x0 din C est une racine multiple d'ordre p pour le polynôme f si

${(X-x_{\circ})}^{p}|{f}\;et\;{(X-x_{\circ})}^{p+1}\not|{f}.$ {(X-x_{\circ})}^{p}|{f}\;et\;{(X-x_{\circ})}^{p+1}\not|{f}.

La fonction

$\tilde{f}:{\mathbb{C}}\rightarrow{\mathbb{C}},\;\tilde{f}{(x)}={f(x)},\;\forall{x}\in{\mathbb{C}},$ \tilde{f}:{\mathbb{C}}\rightarrow{\mathbb{C}},\;\tilde{f}{(x)}={f(x)},\;\forall{x}\in{\mathbb{C}},

s'appelle la fonction polynômiale associée au polynôme f.

Soit f,g dans C[X]; on dit que le polynôme f est divisible par le polynôme g s'il

existe un polynôme h, aux coefficients complexes, tel que f = gh.

Théorème de Bézout:

Soit f dans C[X] un polynôme non-nul et a un nombre complexe; alors a est une racine

du polynôme f si et seulement si (X - a) | f.

Théorème fondamentale de l'algèbre ( D'Alembert-Gauss):

Toute équation algébrique de degré n > 0, admet, au moins, une racine racine

complexe.

Conséquences:

Une équation algébrique du n-ième degré admet exactement n racines complexes;
$grad(f)=n \geq{1}$ grad(f)=n \geq{1} $\Rightarrow{f}={a_n}(x-{x_1})(x-{x_2})\cdots(x-{x_n}),$ \Rightarrow{f}={a_n}(x-{x_1})(x-{x_2})\cdots(x-{x_n}),

où xk , k = 1,2, ... , n, sont les racines du polynôme f.

Relations de Viète:

Soit f dans C[X],

$f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\; {{a_n}}\neq{0},$ f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\; {{a_n}}\neq{0},

un polynôme du n-ième degré et xk, k dans l'ensemble {1, 2, ... , n}, ses n racines;

alors:

$\begin{cases}\sum{x_1}= -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\sum{x_1}{x_2}=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_{k}}={(-1)}^{k}}\cdot\frac{a_k}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}={{(-1)}^{n}}\cdot\frac{a_0}{a_n}\end{cases},$ \begin{cases}\sum{x_1}= -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\sum{x_1}{x_2}=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_{k}}={(-1)}^{k}}\cdot\frac{a_k}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}={{(-1)}^{n}}\cdot\frac{a_0}{a_n}\end{cases},

où par

$\sum{x_1}\cdot{x_2}\cdots{x_i}$ \sum{x_1}\cdot{x_2}\cdots{x_i}

on sous-entend la somme de tous les produits des i racines du polynôme f,

i = 1, 2, 3, ... , n.

Observation:

Si l'on note par S1 , S2 , S3 ,..., Sn les sommes des relations de Viète, alors

l'équation algébrique, dont les racines sont x1 , x2 , x3 ,..., xn, a l'aspect suivant:

$x^n-S_1x^{n-1}+S_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^kS_kx^{n-k}+\cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}x+(-1)^nS_n=0.$ x^n-S_1x^{n-1}+S_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^kS_kx^{n-k}+\cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}x+(-1)^nS_n=0.