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Date de la publication: : 19 Février, 2009

POINTS, DROITES ET PLANS

Définition:

Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à toute droite de ce

plan.

Théorème:

Si une droite est perpendiculaire à deux droites concourantes incluses dans un

plan, alors la droite est perpendiculaire à ce plan.

Théorème de Thalès:

Plusieurs plans parallèles déterminent sur deux droites quelconques, qu'ils coupent,

des segments respectivement proportionnels.

Théorème Ménélaos:

Soit les points A, B, C et D, tels que [ABCD] soit un tetraèdre. Alors:

les points M de (AB), N de (BC), P de (CD) et Q de (AD) sont coplanaires si et

seulement si:

$\frac{MA}{MB}\cdot\frac{NB}{NC}\cdot\frac{PC}{PD}\cdot\frac{QD}{QA}=1.$ \frac{MA}{MB}\cdot\frac{NB}{NC}\cdot\frac{PC}{PD}\cdot\frac{QD}{QA}=1.

Théorème des trois perpendiculaires:

Soit un plan (p) et 3 points distincts: A, B et M, ou A et B appartiennent au plan,

tandis que M est extérieur par rapport à celui-ci.

Si (MA) est perpendiculaire au plan (p) et (AB) est perpendiculaire à la droite (d),

incluse dans le plan (p), alors (MB) est perpendiculaire à la droite (d).

Observation:

Le théorème admet 2 réciproques:

1) Si (MA) est perpendiculaire au plan (p) et (MB) est perpendiculaire à la droite (d),

alors (AB) est perpendiculaire à la droite (d);

2) Si par un point B de la droite (d), incluse dans le plan (p), on construit 2

perpendiculaires à la droite (d), à savoir (d1), incluse dans le plan (p) et (d1)

différente de (d1) et d'un point M de (d2) on abaisse la perpendiculaire en A de (d1),

alors (MA) est perpendiculaire au plan (p).

Définition:

L'angle formé par une droite et un plan c'est l'angle forme par la droite et sa

projection sur le plan.

Définition:

L'angle dièdre c'est la reunion de deux demi-plans ayant même arête.

Définition:

La mesure d'un angle dièdre c'est la mesure du rectilingne du dièdre, c'est-à-dire de

l'angle formé par deux demi-droites perpendiculaires en même point situé sur l'arête

du dièdre, contenues dans les deux demi-plans.

Théorème:

L'aire de la projection sur un plan d'une surface polygônale plane est égale au produit

de l'aire de la surface par le cosinus de l'angle α, formé par le plan qui contient la

surface et le plan sur lequel on la projète:

S = S'·cosα.

Perpendiculaire commune de deux droites (non-coplanaires) de l'espace:

Etant données deux droites non-coplanaires dans l'espace, (d1) et (d2) il existe les

points uniques (A1) sur (d1) et (A2) sur (d2), tels que:

(A1A2) est perpendiculaire à la droite (d1) et (A1A2) est perpendiculaire à la droite (d2).

Observation:

La droite (A1A2) s'appelle la perpendiculaire commune, et la longueur du

segment (A1A2) s'appelle la distance entre les droites (d1) et (d2).

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