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»GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE

Date de la publication: : 03 Mars, 2011

PLAN

1) Equation cartésienne générale du plan:

ax + by + cz + d = 0,

où a, b, c, d sont des nombres réels et la somme a² + b² + c² est non-nulle.

2) Equation du plan par coupures:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0 ,

si le plan coupe les axes de coordonnées en les points A(a,0,0), B(0,b,0) si C(0,0,c).

3) Equation du plan qui passe par 3 points non-alignées, sous la forme d'un déterminant:

$\left|\begin{array}{cccc}x&y&z&1\\x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\end{array}\right|=0.$ \left|\begin{array}{cccc}x&y&z&1\\x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\end{array}\right|=0.

Observation:

De cette équation du plan on obtient la condition d'alignement de 4 points dans

l'éspace:

$\left|\begin{array}{cccc}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\end{array}\right|=0.$ \left|\begin{array}{cccc}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\end{array}\right|=0.

4) Equation vectorielle de la normale au plan,

défini par l'équation ax + by + cz + d = 0:

$\vec{n}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}.$ \vec{n}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}.

Observation:

Les coefficients a, b et c s'appellent les paramétres directeurs du plan.

5) Angle aigu formé par 2 plans:

$\cos{\varphi}=\frac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2}}\cdot{\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2+{c_2}^2}}},$ \cos{\varphi}=\frac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2}}\cdot{\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2+{c_2}^2}}},

où ak, bk, ck, k € {1, 2} sont les paramètres directeurs des 2 plans.

Observation:

D'ici on obtient la condition d'orthogonalité des 2 plans, à savoir:

a1 · a2 + b1 · b2 + c1 · c2 = 0.

6) Distance d'un point à un plan:

$d=\frac{|ax_{\circ}+b{y_\circ}+cz_{\circ}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},$ d=\frac{|ax_{\circ}+b{y_\circ}+cz_{\circ}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},

où a, b, c, d, xo, yo, zo, sont le coefficients de l'équation du plan, respectivement les

coordonnées du point.

7) Angle aigu formé par une droite et un plan:

$\sin{\varphi}=\frac{al+bm+cn}{{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}},$ \sin{\varphi}=\frac{al+bm+cn}{{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}},