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»PERMUTATIONS

Notion fondamentale dans le contenu de l'algèbre linéaire et des structures

algébriques, les opérations avec des permutations sont

fréquemment rencontrées dans des exercices

(à un degré élevé de difficulté)

aux différents concours et examens.

Voilà ici les choses les plus importantes là dessus:

THEORIE

Date de la publication: : 02.11.2010

Permutations. Définitions et propriétés:

On appelle permutation de degré n toute fonction f bijective, définie sur A et à valeurs

dans A, où A = {1, 2, 3, ..., n} et n est naturel non-nul.

L'ensemble de toutes les permutations de degré n (apellées aussi substitutions de

degré n) se note par Sn et, évidemment, le cardinal de cet ensemble est

égal à n!

Une permutation quelconque σ se représente suggestivement sous la

forme du tableau:

$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}.$ \sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}.

Composition des permutations:

Etant données les permutations

$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix},\;$ \sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix},\; $\;\tau=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\tau(1)&\tau(2)&\cdots&\tau(n)\end{pmatrix},$ \;\tau=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\tau(1)&\tau(2)&\cdots&\tau(n)\end{pmatrix},

leur produit ( ou la composée) est défini par

(στ)(k) = (σ ο τ)(k) = σ(τ(k)), k = 1, 2, ..., n

et le résultat est une nouvelle permutation, qui se note στ ου σ ο τ,

à savoir:

$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}$ \sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix} $\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\tau(1)&\tau(2)&\cdots&\tau(n)\end{pmatrix}=$ \begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\tau(1)&\tau(2)&\cdots&\tau(n)\end{pmatrix}= $\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(\tau(1))&\sigma(\tau(2))&\cdots&\sigma(\tau(n))\end{pmatrix}.$ \begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(\tau(1))&\sigma(\tau(2))&\cdots&\sigma(\tau(n))\end{pmatrix}.

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 19.08.2010

Support théorique:

Composition des permutations, permutations paires et impaires.

On donne les permutations:

$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&1&3&4\end{pmatrix}$ \sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&1&3&4\end{pmatrix}

$\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&5&2&3&4\end{pmatrix}.$ \tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&5&2&3&4\end{pmatrix}.

Trouver le nombre naturel n, tel que:

${\sigma}^n=\tau.$ {\sigma}^n=\tau.

Réponse:

n € Φ.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 04.11.2010

Support théorique:

Equation aux permutations, composition des permutations, signe d'une permutation.

Enoncé:

Résoudre l'équation suivante, définie sur l'ensemble des permutations de degré 5:

${\sigma}^2=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&2&5&4&3\end{pmatrix}.$ {\sigma}^2=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&2&5&4&3\end{pmatrix}.

Réponse:

σ € Φ

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EXEMPLE 3

Date de la publication: : 21.10.2011

Support théorique:

Composition des permutations, permutation symétrique, équations sur les permutations.

Enoncé:

Montrer que l'équation suivante, définie sur le groupe des permutations du quatrième

degré, admet une solution unique:

${\sigma}\circ{x}=\tau,$ {\sigma}\circ{x}=\tau,

où

$\sigma={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&a&1&b\end{pmatrix}}\;et\;\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\a&3&b&1\end{pmatrix}.$ \sigma={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&a&1&b\end{pmatrix}}\;et\;\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\a&3&b&1\end{pmatrix}.

Réponse:

$x=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix}.$ x=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix}.

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LE ROUMAIN

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