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»NIVEAU II

Cette catégorie comprend des exercices et problèmes (10-ième classe/Roumanie)

accompagnés des résolutions dans lesquelles on a glissé délibérémment de différentes

erreurs de calcul, on a omis quelques conditions d'existence, des étapes de

raisonnement, ou quelques cas possibles.

En lisant attentivement "la résolution" proposée, trouvez les erreurs!

EPREUVE-5

Date de la publication: : 13.05.2011

Support théorique:

Radical d'ordre pair/impair d'un nombre réel, fonction arcsin, inéquation trigonométrique.

Enoncé:

Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'inéquation trigonométrique:

$\sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}.$ \sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}.

Résolution erronée:

$\sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}$ \sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}} <=> $\sqrt[6]{({{arcsinx}-{\pi})^2}}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}$ \sqrt[6]{({{arcsinx}-{\pi})^2}}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}} <=> ...

<=> (arcsinx)·(arcsinx - 2π - 1) > 0 <=> arcsinx < 0

( parce que, évidemment, arcsinx - 2π - 1 < 0, pour tout x de l'intervalle (- 1,+1) ),

donc, la solution c'est: x € (- 1; 0).

Mais on constate que pour x = - 1/2 € (- 1; 0), l'inéquation n'est pas vérifiée ...

(un nombre négatif n'est pas plus grand qu'un nombre positif !)

Où c'est l'erreur ?

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EPREUVE-4

Date de la publication: : 22.11.2009

Support théorique:

La périodicité des fonctions trigonométriques.

Enoncé:

Montrer que la fonction

f:R - > R, f(x) = 2sin3x + 3cos2x

est périodique et préciser la période principale Tp.

Résolution erronée:

Soit T > 0, tel que f(x + T) = f(x), pour tout x réel, où T est la période générale; il en résulte:

2sin(3x + 3T) + 3cos(2x + 2T) = 2sin3x + 3cos2x, pour tout x reel.

Pour x = 0 et x = π on obtient 2sin3T + 3cos2T = 3 et - 2sin3T + 3cos2T = 3.

On en déduit immédiatement que:

cos2T = 1 et, d'ici T = kπ, k naturel non-nul.

Mais on constate que pour k = 3, (par exemple), T = 3π, et

f(x + 3π) = 2sin3(x + 3π) + 3cos2(x + 3π) = 2sin(3x + 9π) + 3cos(2x + 6π) =

= - 2sin3x + 3cos2x, différent de f(x), donc le résultat trouvé c'est faux !

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EPREUVE-3

Date de la publication: : 22.11.2009

Support théorique:

Nombres réels, relation d'ordre, nombres complexes non-réels.

Enoncé:

Soit les équivalences:

2 > 0, vraie <=> 1 + 1 > 0 <=> 1 > - 1 <=>

<=> ${i^4}>{i^2}$ {i^4}>{i^2} <=>

<=> i² > 1 ( on a simplifié par i) <=> - 1 > 1, faux.

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EPREUVE-2

Date de la publication: : 22.11.2009

Support théorique:

Inéquation aux logarithmes.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des réels l'inéquation:

lg(x² + 1) - lg(x² - 1) > 1.

Résolution erronée:

${lg(x^2+1)-lg(x^2-1)>1}$ {lg(x^2+1)-lg(x^2-1)>1} <=> ${lg{\frac{x^2+1}{x^2-1}}>lg{10}}$ {lg{\frac{x^2+1}{x^2-1}}>lg{10}} <=> ${\frac{x^2+1}{x^2-1}>10}$ {\frac{x^2+1}{x^2-1}>10} <=> ${x^2+1>10x^2-10}$ {x^2+1>10x^2-10} <=> ...

<=> ${x^2}<\frac{11}{9}$ {x^2}<\frac{11}{9} <=> $x<{\frac{\sqrt{11}}{3}}$ x<{\frac{\sqrt{11}}{3}} <=> $x\in{(-\infty,\frac{\sqrt{11}}{3})}.$ x\in{(-\infty,\frac{\sqrt{11}}{3})}.