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Date de la publication: : 03 Avril, 2011

Intégration par parties:

Soit les fonctions f,g : [a,b] - > R, dérivables, et leurs dérivées f' et g' continues.

Alors:

$\int_{a}^{b}{f(x)}\cdot{g$ \int_{a}^{b}{f(x)}\cdot{g'(x)}{dx}={f(x)}\cdot{g(x)}{|}_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{f'(x)}\cdot{g(x)}{dx}.

Première méthode du changement de variable:

Soit l'intervalle J inclus dans R et les fonctions

u: [a,b] - > J et f: J - > R telles que:

a) u est une fonction dérivable, dont la dérivée est continue sur l'intervalle [a,b];

b) f est une fonction continue sur l'intervalle J.

Alors:

$\int_{a}^{b}{f(u(x))\cdot{u$ \int_{a}^{b}{f(u(x))\cdot{u'(x)dx}}=\int_{u(a)}^{u(b)}{f(t)dt}.

Deuxième méthode du changement de variable:

Soit les fonctions

${[a,b]}\;\underrightarrow{u}\;{[c,d]}\;\underrightarrow{f}\;{\mathbb{R}},$ {[a,b]}\;\underrightarrow{u}\;{[c,d]}\;\underrightarrow{f}\;{\mathbb{R}},

telles que:

a) u est une fonction bijective, u et ${u}^{-1}$ {u}^{-1} sont des fonctions dérivables,

dont les dérivées sont continues sur l'intervalle [a,b];

b) f est une fonction continue sur l'intervalle [c,d].

Alors:

$\int_{a}^{b}{f(u(x))dx}=\int_{u(a)}^{u(b)}{{f(t)}\cdot{({u}^{-1})$ \int_{a}^{b}{f(u(x))dx}=\int_{u(a)}^{u(b)}{{f(t)}\cdot{({u}^{-1})'(t){dt}}}.

Un résultat important:

Soit la fonction continue f: [-a,a] - > R où a > 0. Alors:

$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}={2}\cdot{\int_{0}^{a}{f(x)dx}},$ \int_{-a}^{a}{f(x)dx}={2}\cdot{\int_{0}^{a}{f(x)dx}},

si f(- x) = f(x), pour tout x de [-a,a] (la fonction f est paire);

et:

si f(- x) = - f(x), pour tout x de [-a,a] (la fonction f est impaire).

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