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Date de la publication: : 02 Février, 2012

METHODES

Méthode du facteur commun.

Il faut identifier, le cas échéant, un facteur commun de tous les termes de l'expression

algébrique donnée (il vaut mieux qu'il soit même le p.g.d.c.).

Exemples:

1) 12x³ + 8x² + 24x = 4x(3x² + 2x + 6);

2) 15x³y² - 3x²y + 12xy = 3xy(5x²y - x + 4);

3) x²(x +2y)³ - 2xy(x + 2y)² + x(x + 2y) = x(x+2y)[x(x + 2y)² - 2y(x + 2y) + 1].

Μéthode qui utilise des identités remarquables.

Il faut voir, dans l'expression algébrique donnée, la possibilité de mettre en évidence

d'une ou plusieurs identités remarquables, par exemple:

(a + b)² = a² + 2ab + b²;
(a - b)² = a² - 2ab + b²;
(a + b)(a - b) = a² - b²;
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³;
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³;
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²);

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

Exemples:

1) E1(x) = x² + x - 3 = [x² + 2x·(1/2) + 1/4] - 1/4 - 3 = (x + 1/2)² - 13/4 =

$={(x+\frac{1}{2})}^2-{(\frac{\sqrt{13}}{2})}^2=\cdots=(x+\frac{1+\sqrt{13}}{2})(x+\frac{1-\sqrt{13}}{2});$ ={(x+\frac{1}{2})}^2-{(\frac{\sqrt{13}}{2})}^2=\cdots=(x+\frac{1+\sqrt{13}}{2})(x+\frac{1-\sqrt{13}}{2});

2) E2(x) = x² - x + 3 = [x² - 2x·(1/2) + 1/4] - 1/4 + 3 = ${(x-\frac{1}{2})}^2+{(\frac{\sqrt{11}}{2})}^2;$ {(x-\frac{1}{2})}^2+{(\frac{\sqrt{11}}{2})}^2;

(l'expression, étant une somme de carrés, est irréductibile).

$3)\;E_3(x)=x^4-x^2+6x-9=x^4-(x^2-6x+9)=x^4-(x-3)^2=$ 3)\;E_3(x)=x^4-x^2+6x-9=x^4-(x^2-6x+9)=x^4-(x-3)^2=

$=[x^2-(x-3)]\cdot[x^2+(x-3)]=(x^2-x+3)\cdot(x^2+x-3).$ =[x^2-(x-3)]\cdot[x^2+(x-3)]=(x^2-x+3)\cdot(x^2+x-3).

Compte tenu des exemples 1) et 2) il en résulte:

$E_3(x)=(x^2-x+3)(x+\frac{1+\sqrt{13}}{2})(x+\frac{1-\sqrt{13}}{2});$ E_3(x)=(x^2-x+3)(x+\frac{1+\sqrt{13}}{2})(x+\frac{1-\sqrt{13}}{2});

Méthode de l'association des termes.

La méthode utilise l'association des termes de l'expression, afin qu'on

puisse générer des facteurs communs.

Exemples:

1) 3x² - xy + 6xz - 2yz = (3x² + 6xz) - (xy + 2yz) = 3x(x + 2z) - y(x + 2z) =

= (x + 2z)(3x - y);

2) x² - xz + yz - y² = (x² - y²) - (xz - yz) = (x - y)(x + y) - z(x - y) =

= (x - y)(x + y - z).

Méthodes combinées.

Denumirea metodei este sugestiva: pentru realizarea descompunerii in factori

ireductibili, in abordarea unor expresii mai elaborate, este nevoie, deseori, de a utiliza

succesiv mai multe metode.

Exemples:

1) x² - 7x + 10 = x² - 2x - 5x + 10 = (x² - 2x) - (5x - 10) = x(x - 2) - 5(x - 2) =

= (x - 2)(x - 5).

2) 2x³ + x + 18 = (2x³ + 16) + (x + 2) = 2(x³ + 8) + (x + 2) =

= 2(x³ + 2³) + (x + 2) = 2(x + 2)(x² - 2x + 4) + (x + 2) =

= (x + 2)(2x² - 4x + 8) + (x + 2) = (x + 2)(2x² - 4x + 8 + 1) =

= (x + 2)(2x² - 4x + 9).

Observation: on peut montrer que le facteur 2x² - 4x + 9 est irréductible, en le

mettant sous la forme d'une somme de carrés, comme plus haut

(voir le cas de l'expression E3(x)).

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