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»LIMITES DE FONCTIONS

Les limites de suites constituent le point de départ pour les limites de

fonctions (en définitive, les suites sont des fonctions particulières) et, pour

cela, dans le chapitre ci-dessous on va retrouver quelques formules qui se

ressemblent à celles concernant les suites; de plus, à l'aide des

techniques liées aux limites de fonctions, on pourra calculer plus rapidement

des limites pour certaines suites.

THEORIE

Date de la publication: : 26.10.2008

Définition de la limite d'une fonction en un point:

Soit a un point d'accumulation (fini ou infini) d'un ensemble E inclus dans R;

on dit que L de R U {- 00, +00} c'est la limite de la fonction f:E - > R en le point a si

pour tout xn non-nul de E et différent de a, où n est naturel, xn - > a, la suite

( f(xn) ), des valeurs de la fonction f, tend vers L.

Théorème des deux gendarmes:

Soit 3 fonctions f,g,h:E - > R, a un point d'accumulation pour E et V un

voisinage de a. Si:

$a)\;{f(x)}\leq{g(x)}\leq{h(x)},\forall{x}\in{{\mathcal{V}}\cap{E}},x\not=a\;et$ a)\;{f(x)}\leq{g(x)}\leq{h(x)},\forall{x}\in{{\mathcal{V}}\cap{E}},x\not=a\;et

$b)\;{\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}={\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{h(x)}=\mathit{l},\;alors:$ b)\;{\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}={\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{h(x)}=\mathit{l},\;alors:

${\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)} =\mathit{l}.$ {\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)} =\mathit{l}.

Limites remarquables:

$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.
$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.
$\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{\sin{u(x)}}{u(x)} =1\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{\sin{u(x)}}{u(x)} =1\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 26.08.2010

Support théorique:

Fonction rationelle, domaine de définition, asymptote oblique, limites de fonctions, pente d'une droite, ordonné à l'origine, système de 2 équations non-linéaires.

Enoncé:

Trouver le domaine D de définition de la fonction f:D - > R,

$f(x)=\frac{({\alpha}+1){x^2}+{\alpha}x+1}{({\beta}^2+\beta+1)x-4},$ f(x)=\frac{({\alpha}+1){x^2}+{\alpha}x+1}{({\beta}^2+\beta+1)x-4},

α, β € R, en sachant que sa représentation graphique admet une asymptote oblique,

dont l'équation c'est y = x + 2.

Réponse:

D = R \ {4/3}.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 06.11.2010

Support théorique:

Fonction partie entière, limites latérales d'une fonction en un point d'accumulation de son domaine de définition, restriction d'une fonction à un intervalle.

Enoncé:

Soit la fonction réelle f, de variable réelle, définie par la loi

f(x) = [(x - 5)(1 - x)], où [a] représente la partie entière du réel a.

Calculer les limites latérales de la fonction f en x = 3.

Réponse:

fs(3) = fd(3) = 3.

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